2018 CCPC Guilin Station G.最大公約数（gcd微分素因数分解）

トピックリンク：最大公約数

一般的なアイデア

nnの長さが与えられた任意の数の操作を実行できる$n$のシーケンス：すべての位置の値に+1。

Q：少なくともgcd（{a 1、a 2、。。。。、a}）≠1 gcd（\ {a_1、a_2、...、a_n \}）\ne1となるように実行される操作の数$gcd（\{a_{}、a_{}、。。。、a_{}\}）=1.$解決策がない場合は、-1-1を出力します$-1$。$\_$

問題解決のアイデア

差分

このタイプの間隔を追加して、$gcd$の問題については、それを差に変換して解決するというアイデアを簡単に考えることができます。

この問題の場合、毎回、間隔$[1、n]+1.$元のシーケンスが$a\left[\right]$、差分シーケンスは$b\left[\right]$ 。この操作は、 b [1] + 1、b [n + 1] − 1 b [1] + 1、b [n +1]-1を作成するのと同じです。$b\left[1\right]+1、b[n+1]-1.$ n$n+1$位置操作は無意味であるため、操作は次のようになりますb[1] + 1。

ここで問題となるのは、少なくともgcd（{b 1、b 2、。。。。、bn}）≠1 gcd（\ {b_1、b_2、...、b_n \}）\neb[1] + 1となるような操作がいくつ実行されるかです。 $gcd（\{b_{}、b_{}、。。。、b_{}\}）=1$。

簡単に次のようになります$gcd（\{b_{}、b_{}、。。。、b_{}\}）=1$の場合、解決策はありません。

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素因数分解

逆に、$d=gcd（\{b_{}、b_{}、。。。、b_{}\}）$ 。同等に、 gcd（b 1、d）≠1 gcd（b_1、d）\ne1を見つける必要があります。$gcd（b_{}、d）=1$の最小操作数

b1b_1にする必要があります$b_{}$および$d$が同じ素因数の少なくとも1つを持っていれば十分です。

したがって$d$は素因数に分解され、すべての結果を列挙することにより、最小値を取ります。

ACコード

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1E5 + 10;
int a[N], b[N];
int get(int d) {
    
     return (d - b[1] % d) % d; }
int fact(int d) {
    
    
	int res = INT_MAX;
	for (int i = 2; i <= d / i; ++i) {
    
    
        if (d % i == 0) {
    
    
            res = min(res, get(i));
            while (d % i == 0) d /= i;
        }
    }
    if (d > 1) res = min(res, get(d));
	return res;
}
int main()
{
    
    
	int t; cin >> t;
	rep(tt, t) {
    
    
		int n; scanf("%d", &n);
		rep(i, n) scanf("%d", &a[i]), b[i] = abs(a[i] - a[i - 1]);

		int d = 0;
		for (int i = 2; i <= n; ++i) d = gcd(d, b[i]);

		if (d == 0) printf("Case %d: %d\n", tt, b[1] == 1);
		else {
    
    
			int res = fact(d);
			printf("Case %d: %d\n", tt, res == INT_MAX ? -1 : res);
		}
	}

	return 0;
}

終わり