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前言
N皇后以一道经典回溯题，是我第一次遇到的困难级别的题，是搁置了两年的没敢说理解的题。今天，搞定了
题目
n 皇后问题** 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 **n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例1
输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
复制代码示例2
输入： n = 1
输出： [["Q"]]
复制代码题解
回溯 + 递归
皇后彼此之间不能相互攻击的条件：
- 不在同一行
- 不在同一列
- 不在同一个斜对角线上
顺着思路一条一条来
- 假设
- 第1步：在第1行第1个位置放一个皇后，根据【皇后彼此之间不能相互攻击的条件】，这一列只能放一个皇后，可以换行了
- 第2步：紧接第1步，第1行已经放皇后了，第2行要遵循【皇后彼此之间不能相互攻击】条件，找一个合适的位置放还后，这一列也只能放一个皇后，需要到第3行了
- 第3步：.....
- 第4步：.....
上述思路熟悉不熟悉，这一步的参数是上一步的结果；首先想到的是递归呀；根据上述思路先编辑大致代码
var solveNQueens = function (n) {
// 从第1行开始
dfs(0);
function dfs(idx) {
// 到第n行结束
if (idx === n) {
return;
}
for (let i = 0; i < n; i++) {
dfs(idx+1)
}
}
};
复制代码递归框架搭出来了，皇后放在哪里呢？怎么放呢？这些数据需要保存一下，因为皇后位置不同，会影响再放皇后时的位置。为了方便我们可以将皇后的位置先放在一个数组内，最后在加上放皇后的条件
var solveNQueens = function (n) {
// 从第1行开始
dfs(0,[]);
function dfs(idx,path) {
//path是记录皇后的位置的
// 比如 path = [0] :表示在0行0列有一个皇后，
// path =[0,2]:表示在0行0列有1个皇后,在1行2列有1个皇后
if (idx === n) {
return;
}
// idx表示第几层，此处的for循环，为了找到这一层什么地方可以放皇后
for (let i = 0; i < n; i++) {
// 这里可以放皇后吗？x
if (isCheck(path, i)) {
//可以
path.push(i);
dfs(idx + 1, path);
path.pop();
}
}
}
};
复制代码递归的时候在任意
层，从左到右枚举
区间位置，条件判断该位置是否可以放皇后，如果可以，将该位置的坐标添加到
保存起来，进入下一层。此处递归执行完毕，在此处回溯
条件判断该位置
这个条件是什么，代码中 该如何实现？
- 不在同一行
- 不在同一列
- 不在同一个斜对角线上
现在已经有的条件 存放之前的皇后位置，当前层要放皇后的位置
- 不在同一行 : 这个条件不用看，因为递归的时候按层递归，一定不会出现在同一层
- 不在同一列 :这个条件也简单，只要 不与 数组任意元素相等即可,这点不懂的可以看看上文中 定义
- 不在同一个斜对角线上，分类讨论，在 斜线上或者在 斜线上
| x\y | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,0 | 0,1 |
0,2 |
0,3 |
| 1 | 1,0 |
1,1 | 1,2 | 1,3 |
| 2 | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 |
| 3 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 3,3 |
看一下上面的表，两个红色对角线上的坐标有什么规律？
- 在 斜线上， 坐标点上，纵横坐标之和相同
- 在 斜线上， 坐标点上，纵横坐标之差相同
所以根据上述思路可以写出 条件函数
function isCheck(select, idx) {
// select 这是一个数组，数组下标表示层，数组元素表示下标层位置
const len = select.length;
// len这里表示第几层，因为如果皇后放在这里，这就应该就是select的最后一个元素
for (let i = 0; i < len; i++) {
const x = select[i];
const y = i;
// 皇后与另一位皇后在y坐标上冲突
if (idx === x) return false;
// 这个皇后与45度斜线上的皇后冲突了
if (y + x === len + idx) return false;
// 这个皇后与135度斜线上的皇后冲突了
if (y - x === len - idx) return false;
// 合并上述三个if
//if (idx === x || x + y === len + idx || y - x === len - idx) return false;
}
return true;
}
复制代码最后将符合条件的换后放置在数组中
if (idx === n) {
// 将数据放入
const array = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
const k = path[i];
line[k] = 'Q';
array.push(line.join(''));
line[k] = '.';
}
result.push(array);
return;
}
复制代码根据上述思路编辑下面代码
完整代码如下
var solveNQueens = function (n) {
let result = [];
const line = Array(n).fill('.');
dfs(0, []);
return result;
function dfs(idx, path) {
if (idx === n) {
// 将数据放入
const array = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
const k = path[i];
line[k] = 'Q';
array.push(line.join(''));
line[k] = '.';
}
result.push(array);
return;
}
// idx表示第几层，此处的for循环，为了找到这一层什么地方可以放皇后
for (let i = 0; i < n; i++) {
// 这里可以放皇后吗？x
if (isCheck(path, i)) {
//可以
path.push(i);
dfs(idx + 1, path);
path.pop();
}
}
}
function isCheck(select, idx) {
// select 这是一个数组，数组下标表示层，数组元素表示下标层位置
const len = select.length;
// len这里表示第几层，因为如果皇后放在这里，这就应该就是select的最后一个元素
for (let i = 0; i < len; i++) {
const x = select[i];
const y = i;
// 皇后与另一位皇后在y坐标上冲突
if (idx === x) return false;
// 这个皇后与45度斜线上的皇后冲突了
if (y + x === len + idx) return false;
// 这个皇后与135度斜线上的皇后冲突了
if (y - x === len - idx) return false;
// 合并上述三个if
//if (idx === x || x + y === len + idx || y - x === len - idx) return false;
}
return true;
}
};
复制代码