P5538【XR-3】与运算 + DFS

题意

传送门 P5538【XR-3】Namid[A]me

题解

与运算同时出现在底数与指数，难以处理和式。
$$\sum _{1\le u\le v\le n}f(u,v{)}^{f(u,v)}$$ 考虑直接求解 $f(u,v)$ 后求和。限制 $ND\le 3\times 10^6$ 指出，当点数很大时，树上与子节点连边数大于 $1$ 的节点数很少。先考虑链上的情况，根据与运算的性质，当 $u$ 不变时，$f(u,v)$ 的取值只有 $O(\log A_u)$ 种可能，取值的变化仅发生在 $A_u$ 的二进制表示中为 $1$ 的位变为 $0$ 的情况下。同理，对于以 $u$ 为根的子树，对任一子树中的节点 $v$，有 $f(u,v)$ 取值只有 $O(\log A_u)$ 种可能性，那么可以进行哈希。

设 $M=\lfloor {\log }_{2}A\rfloor +1$。基于 $std::map$ 的树上哈希递推，时间复杂度 $O(NM\log M)$。任一对节点 $(u,v)$ 的 $f(u,v)$，仅在 $lca(u,v)$ 处统计一次，时间复杂度为 $O(\min (D^2{M}^2,N^2))$。
$$\min (D^2{M}^2,N^2)\le D^2{M}^2+N^2\le 2NMD$$ 那么总时间复杂度为 $O(NM(D+\log M))$，暴力求解即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for (int i = l, _ = r; i < _; ++i)
#define ft first
#define sd second
typedef long long ll;
const int maxn = 200005, _p = 786433, _g = 10;
int N, Res, A[maxn], ind[_p], gPw[_p];
vector<int> G[maxn];
map<int, int> mp[maxn];

void add(int x, int d)
{
    
    
    if (x % _p == 0)
        return;
    int y = gPw[(ll)ind[x % _p] * x % (_p - 1)];
    Res = (Res + (ll)y * d % _p) % _p;
}

void dfs(int u, int p)
{
    
    
    add(A[u], 1);
    ++mp[u][A[u]];
    for (auto &v : G[u])
        if (v != p)
        {
    
    
            dfs(v, u);
            for (auto &x : mp[v])
                for (auto &y : mp[u])
                    add(x.ft & y.ft, (ll)x.sd * y.sd % _p);
            for (auto &x : mp[v])
                mp[u][x.ft & A[u]] += x.sd;
            mp[v].clear();
        }
}

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    for (int i = 0, x = 1; i < _p - 1; ++i)
        ind[x] = i, gPw[i] = x, x = (ll)x * _g % _p;
    cin >> N;
    rep(i, 0, N) cin >> A[i];
    rep(i, 1, N)
    {
    
    
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        --u, --v;
        G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
    }
    dfs(0, -1);
    cout << Res << '\n';
    return 0;
}