lightoj1052文字列の成長（フィボナッチ行列ソリューション）

題名

2文字{a、b}のみを含む文字列がある場合、文字列内のbを展開するたびにabに置き換え、同時にaをbに置き換えます。次に、n番目の展開後に文字列を指定します。長さはxで、 m番目の拡張後の文字列の長さはyです。k番目の拡張後の文字列の長さはどれくらいですか？

アイデア

まず、いくつかの文字列を展開して、aの数とbの数が両方ともフィボナッチ数であり、フィボナッチ数に応じて増加することを確認します。
このように、最初にpaとqbがあると仮定します。次に、2番目とm番目の時間のn番目のフィボナッチ数を見つけます。これにより、バイナリ線形方程式システムが得られ、解は問題ありません。
文字列の最短の場合は、最初に文字aが1つしかないことです。
質問では文字列の長さが必要です$10^9$内部;

typedef struct matrix {
    long long v[2][2];
    matrix() {
   
   memset(v, 0, sizeof v);}
}matrix;
long long dp[100];
long long top;
void init() {
    dp[0] = 0;dp[1] = 1;
    for (int i = 2;;++i) {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        top = i;
        if (dp[i] >= 1e9) break;
    }
}
bool flag;
matrix mul(matrix a, matrix b) {
    matrix c;
    for (int i = 0;i < 2;++i) {
        for (int j = 0;j < 2;++j) {
            for (int k = 0;k < 2;++k) {
                c.v[i][j] = c.v[i][j] + a.v[i][k] * b.v[k][j];
                if (c.v[i][j] >= MOD) {
                    c.v[i][j] %= MOD;
                    flag = true;
                    // 判断长度是否超出了范围
                }
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix pow_mod(matrix e, long long t) {
    matrix ans;
    ans.v[0][0] = ans.v[1][1] = 1;
    while(t) {
        if (t & 1) ans = mul(ans, e);
        e = mul(e, e);
        t >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(int argc, const char * argv[])
{    
    // freopen("/Users/jamesqi/Desktop/in.txt","r",stdin);
    // freopen("/Users/jamesqi/Desktop/out.txt","w",stdout);
    // ios::sync_with_stdio(false);
    // cout.sync_with_stdio(false);
    // cin.sync_with_stdio(false);

    init();
    int kase;cin >> kase;
    while(kase--) {

        flag = false;
        int n, x, m, y, k;
        cin >> n >> x >> m >> y >> k;

        if (n > m) {
            swap(n, m);swap(x, y);
        }

        cout << "Case " << ++nCase << ": ";

        if (y < x || m >= top || x < dp[n] || y < dp[m]) {
            cout << "Impossible" << endl;
            continue;
        }

        matrix e;
        e.v[0][0] = 0;e.v[0][1] = e.v[1][0] = e.v[1][1] = 1;
        matrix t1 = pow_mod(e, n - 1);
        matrix t2 = pow_mod(e, m - 1);

        long long a, b, c, d;
        a = t1.v[0][0] + t1.v[1][0];
        b = t1.v[0][1] + t1.v[1][1];

        c = t2.v[0][0] + t2.v[1][0];
        d = t2.v[0][1] + t2.v[1][1];
        // flag means the the length of string is bigger than 1e9, can not;
        if (flag || (d*x - b*y) % (a*d - b*c) || (c*x - a*y) % (b*c - a*d)) {
            cout << "Impossible" << endl;
            continue;
        }
        long long p = (d*x - b*y) / (a*d - b*c);
        long long q = (c*x - a*y) / (b*c - a*d);

        if (p < 0 || q < 0) {
            cout << "Impossible" << endl;
            continue;
        }

        matrix t3 = pow_mod(e, k - 1);
        long long ans = p*(t3.v[0][0] + t3.v[1][0]) + q*(t3.v[0][1] + t3.v[1][1]);
        cout << ans % MOD << endl;
    }

    // showtime;
    return 0;
}