AcWing368微分制約システム+ Tarjan SCC +トポロジカル次数DP

題名

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回答

あらゆる種類の関係を微分制約システムに変換し、各ノードの明るさの最小値を解き、それを最長パスの解法に変換します。

ddしましょう$d$はノードの明るさを表します。$T=1時間$、$d\left[A\right]-d\left[B\right]\ge 0、d\left[B\right]-d\left[A\right]\ge 0$；$T=2時間$、$d\left[B\right]-d\left[A\right]\ge 1$；$T=3時間$、$d\left[A\right]-d\left[B\right]\ge 0$；$T=4時間$、$d\left[A\right]-d\left[B\right]\ge 1$；$T=5時間$、$d\left[B\right]-d\left[A\right]\ge 0$。最も暗い明るさを確保するには$1$、$d\left[0\right]=0$、および制約$\forall A、d\left[A\right]-d\left[0\right]\ge 1$。

$SPFA$最長パスを解く$O（NM）は$実行$が$困難です。微分制約システムのエッジの重みが負でないことに注意してください。グラフにリングがある場合、リングのエッジの重みの合計は00でなければなりません$0$ ;それ以外の場合、x> x x> xが表示されます$バツ>>x$この種の解決できない状況。

$TRjはAのn個$解決するアルゴリズム$SCC$、すべての強連結成分にゼロ以外の重みを持つエッジがあるかどうかを判断します。微分制約システムに解がある場合は、トポロジカル次数DPDPを使用します。$DPは、$最長パスを解決します。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005, maxm = 3 * 100005;
int N, M, fg, num, low[maxn], dfn[maxn];
int top, st[maxn], nr, rec[maxn];
int scc, sc[maxn], deg[maxn], dp[maxn];
int tot, head[maxn], to[maxm], nxt[maxm], cost[maxm];
int tot_c, hc[maxn], tc[maxm], nc[maxm], cc[maxm];
bool vs[maxn], in[maxn];

inline void add(int x, int y, int z) {
    
     to[++tot] = y, cost[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot; }

inline void add_c(int x, int y, int z) {
    
     tc[++tot_c] = y, cc[tot_c] = z, nc[tot_c] = hc[x], hc[x] = tot_c; }

void dfs(int x)
{
    
    
    vs[x] = 1;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i], z = cost[i];
        if (sc[y] != scc)
            continue;
        if (z)
            fg = 0;
        else if (!vs[y])
            dfs(y);
    }
}

void tarjan(int x)
{
    
    
    low[x] = dfn[x] = ++num;
    st[++top] = x, in[x] = 1;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i];
        if (!dfn[y])
        {
    
    
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
        }
        else if (in[y])
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
    if (low[x] == dfn[x])
    {
    
    
        ++scc, nr = 0;
        int y;
        do
        {
    
    
            y = st[top--], in[y] = 0;
            rec[++nr] = y, sc[y] = scc;
        } while (y != x);
        for (int i = 1; i <= nr; ++i)
            vs[rec[i]] = 0;
        dfs(x);
    }
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d", &N, &M);
    tot = tot_c = 1;
    for (int i = 1, t, a, b; i <= M; ++i)
    {
    
    
        scanf("%d%d%d", &t, &a, &b);
        if (t == 1)
            add(b, a, 0), add(a, b, 0);
        else if (t == 2)
            add(a, b, 1);
        else if (t == 3)
            add(b, a, 0);
        else if (t == 4)
            add(b, a, 1);
        else if (t == 5)
            add(a, b, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        add(0, i, 1);
    fg = 1;
    for (int i = 0; i <= N; ++i)
        if (!dfn[i])
            tarjan(i);
    if (!fg)
    {
    
    
        puts("-1");
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i <= N; ++i)
        for (int j = head[i]; j; j = nxt[j])
        {
    
    
            int x = sc[i], y = sc[to[j]], z = cost[j];
            if (x != y)
                add_c(x, y, z), ++deg[y];
        }
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= scc; ++i)
        if (!deg[i])
            q.push(i);
    while (q.size())
    {
    
    
        int x = q.front();
        q.pop();
        for (int i = hc[x]; i; i = nc[i])
        {
    
    
            int y = tc[i], z = cc[i];
            dp[y] = max(dp[y], dp[x] + z);
            if (!--deg[y])
                q.push(y);
        }
    }
    ll res = 0;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        res += dp[sc[i]];
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}