漸近表記
1.定義
漸近表記は、定義された自然数N = {0、1、2 、......}関数の定義域に基づいて、漸近実行タイムマークを記述するために使用されます。通常、アルゴリズムの計算時間を記述するために漸近表記を使用します。次に、いくつかの基本的な漸近表記を紹介します。
2. Oマーク（big-Oh）
2.1定義
f（n）= O（g（n）） -定数c> 0およびn0が存在し、n> = n0に対してf（n）<c * g（n）となります。
任意のn> = n0に対して、f（n）<= c * g（n）となるような正規数cとn0があります。
O表記を使用して、関数の定数係数内に上限を指定することがよくあります。ここで、g（n）は、漸近境界ではなく、漸近上限である必要があります（つまり、3n ^ 2 + 4n + 5 = O （n ^ 2）が成り立ちますが、実際には3n ^ 2 + 4n + 5 = O（n ^ 1000000）も成り立ちます）。
2.2例
2.2.1一般的な例
- 3n ^ 2 + 4n + 5 = O（n ^ 2）
- log10 n = O（log2 n）= O（log n）（デフォルトではlogは基数2です）
- sin n = O（1）
- 10 ^ 10 = O（1）
- nΣi= 1 i ^ 2 = O（n ^ 3）
- nΣi= 1 i = O（n ^ 2）
- log（n！） = log（n）+……+ log（1）= O（n log n）
- nΣi= 1 1 / i = O（log n）
2.2.2証明例
（1）f（n）= 3n ^ 2 + 4n + 5、f（n）= O（n ^ 2）であることを証明します。
解決策：n> = 1の場合、f（n）= 3n ^ 2 + 4n + 5 <= 3n ^ 2 + 4n ^ 2 + 5n ^ 2 = 12n ^ 2。したがって、定数c = 12およびn0 = 1がある場合、任意のn> = n0に対して、f（n）<= c * n ^ 2
（2）f（n）=nΣi= 1 1 / i、f（n）= O（log2 n）であることを証明します。
PSここで、nΣi= 1 1 / iは1/1 + 1/2 + 1/3 +……+ 1 / nに等しく、調和級数の調和級数が証明に使用されます。
n> = 2の場合、最初にnをnに最も近い2の累乗に増幅できます。f（n）= 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +……+ 1 /（n-1）+ 1 / n <= 1/1 + 1/2 +1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 +…… 1 /（n / 2）+ 1 / n = log n + 1 / n <= 2 logn。したがって、定数c = 2およびn0 = 2があります。任意のn> = n0の場合、f（n）<= c * lognです。ズームインした後、f（n）= O（log n）、明らかにズームインしていないときは、f（n）= O（log n）も真です。
2.2.3反例の証明
（1）f（n）= 2 ^（2n）がO（2 ^ n）と等しくないことを証明します。
解決策：反例は、任意の正規数cおよびn0に対して、n> = n0が存在することを証明することです。したがって、f（n）> c * g（n）です。したがって、この質問では、任意の自然数cとn0に対して、n = n0 + log c> = n0が存在するため、f（n）> c * 2 ^ nとなります。
3.Ω記号（ビッグオメガ）
3.1定義
f（n）=Ω（g（n））定数c> 0およびn0が存在し、n> = n0に対してf（n）> = c * g（n）となります。
任意のn> = n0に対して、f（n）> = c * g（n）となるような正規数cとn0があります。
Ω表記は、関数の漸近的な下限を提供します。
3.2例
3.2.1一般的な例
- n ^ 2 / 2-3n =Ω（n ^ 2）
- log（n！）=Ω（nlog n）
- nΣi= 1 1 / i =Ω（log n）
3.2.2証明例
（1）f（n）= n ^ 2 / 2-3n、f（n）=Ω（n ^ 2）であることを証明します。
解決策：n> = 12の場合、f（n）= n ^ 2 / 2-3n> = n ^ 2/4です。したがって、正規数c = 1/4とn0 = 12があるため、任意のn> = n0、f（n）> = c * n ^ 2。
（2）f（n）= log（n！）、f（n）=Ω（nlog n）であることを証明します。
解決策：n> = 4の場合、f（n）= log（n）+ log（n-1）+……+ log 1> = log（n）+ log（n-1）+……+ log（n / 2）> = n / 2 * log（n / 2）= n / 2 *（log n-1）> = n log n / 4。したがって、正規数c = 1/4およびn0 = 4があるため、任意のn> = n0に対して、f（n）> = c * n lognとなります。
（3）f（n）=nΣi= 1 1 / i、f（n）=Ω（logn）であることを証明します。
解決策：n> = 2の場合、nをnに最も近い2の累乗に減らすことができます。f（n）= 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +……+ 1 /（n-1）+ 1 / n> = 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + .. 。+ 1 / n + 1 / n> = n log n / 2 + 1 / n> = n log n / 2。したがって、正規数c = 1/2とn0 = 2があり、任意のn> = n0に対して、f（n）> = c * n lognとなります。
3.2.3反例の証明
（1）100n ^ 2がΩ（n ^ 3）と等しくないことを証明します。
解決策：反例は、任意の正規数cおよびn0に対して、n> = n0が存在することを証明することです。したがって、f（n）<c * g（n）です。したがって、この質問では、任意の正規数cおよびn0に対して、n = n0 + 100 / c> = n0が存在するため、f（n）<c * n ^ 3となります。
4.シータ表記（ビッグシータ）
4.1定義
f（n）= O（g（n））およびf（n）=Ω（g（n））の場合に限り、f（n）=θ（g（n））
θ（g（n））の定義では、すべてのメンバーf（n）∈θ（g（n））が漸近的に非負であり、g（n）がf（n）の漸近的にコンパクトな境界である必要があります。