最近、この論文を読んで、基本的な知識の不足を感じたので、まず、この本の表紙にグラフィックジオメトリの知識を追加しました。
本章紹介
この本では、次の図に示すように、ポリゴンメッシュに基づく幾何学的処理パイプラインの主要コンポーネントについて説明します。本書の目的上、トピックの説明の順序は、図に示す一般的な処理順序とは異なります。
最初に、第1章でサーフェス表現の一般的な概念について説明し、デジタル幾何学的処理に使用されるポリゴンメッシュの有利な特性を強調します。
第2章では、ポリゴンメッシュの実装に使用される効果的なデータ構造を紹介します。
第3章では、微分幾何学の基本的な概念を紹介し、その離散シミュレーションの導出について説明します。これらは、メッシュスムージングアルゴリズム（第4章）の基礎を形成し、信号処理技術を不規則なポリゴンメッシュに拡張することにより、スキャンされた表面のノイズを低減します。
第5章では、サーフェスのパラメータ化を計算するさまざまな方法を紹介します。これは、多くの幾何学的処理タスクで重要です。
メッシュの再描画方法（第6章）では、三角形または多角形要素の形状を最適化できます。これは、数値シミュレーションとその後の処理操作の堅牢性にとって重要です。
3Dスキャンによって取得された、または処理パイプラインに沿って自動的に生成された非常に複雑なメッシュのエラー制御の簡略化には、通常、メッシュの簡略化および近似手法（第7章）が必要です。
第8章では、入力データのさまざまなソースを紹介し、さまざまなタイプの幾何学的およびトポロジーの劣化と不整合を紹介します。これらのアーティファクトを除去して、後続の処理に適した完璧な2多様メッシュを生成する方法について説明しました。
第9章では、直感的でインタラクティブな形状変形の手法を紹介します。線形システムは多くの提案されたグリッド処理アルゴリズムに現れるため、付録では線形システムを解くための効果的なアルゴリズムを説明し、いくつかの既存のライブラリを比較します。
第一章
左側の2つのグラフは、2つの非フローポイントとエッジです。
以下に、2つのシリンダー間の接続を定義する滑らかな表面の3つの例：表面積を最小化する膜表面（左）、全曲率を最小化するシート表面（中央）、および平均曲率の変化を最小化する表面（右）
サブディビジョンサーフェス[Zorin et al。]スプラインサーフェスも一般的なコントロールメッシュで制御されるため、一般化されていると考えることができますが、スプラインサーフェスとは対照的に、任意のトポロジのサーフェスを表すことができます。サブディビジョンサーフェスは、コントロールメッシュを繰り返し定義することによって生成されます。各トポロジ定義ステップの後、（新旧の）頂点の位置は、一連のローカル平均化ルールに従って調整されます（図1.4を参照）。これらのルールを注意深く分析すると、極端な条件下では、このプロセスにより、明らかに滑らかな表面が生成されることがわかります[Peters and Reif 08]。その結果、サブディビジョンサーフェスは、トポロジ（多様性を除く）またはスプラインサーフェスのような幾何学的制約によって制限されず、固有の階層構造により効率的なアルゴリズムが可能になります。ただし、サブディビジョンテクニックは、いわゆるセミレギュラーサブディビジョン接続性を備えたメッシュの生成に限定されています。つまり、三角測量は、粗い制御メッシュの均一なリファインの繰り返しの結果である表面メッシュです。どのメッシュもこの制約を満たすことができないため、接続を細分するために、前処理ステップでメッシュを細分する必要があります。ただし、再メッシュはサーフェスのリサンプリングに対応するため、アーチファクトのサンプリングと情報の損失が発生することがよくあります。これらの接続制約による制限を回避するために、三角形メッシュで作業することが目標です。これにより、より高い柔軟性を提供しながら、効果的な表面処理を実行できるようになります。
三角形メッシュ
多くの幾何学的処理アルゴリズムでは、三角形グリッドは、特定の数学的構造のない三角形の集合と見なされます。ただし、原則として、各三角形はその重心のパラメーター化によって区分的線形表面表現の一部を定義します。三角形[a、b、c]内の各ポイントpは、コーナーポイントの重心の組み合わせとして独自の方法で記述できます。
パラメータフィールドで任意の三角形[u、v、w]を選択することにより、線形マップを定義できます
この三角形マップに基づいて、三角形メッシュ全体のグローバルパラメーター化を導出するには、各頂点の2D位置を定義するだけで十分です。
三角形メッシュMは、ジオメトリとトポロジーで構成され、後者は一連の頂点を持つグラフ構造で表すことができます。
それらを接続する三角形の面のセット
ただし、各グラフのエッジを使用して三角形メッシュの接続性を表す方が効果的な場合があります。
各サブディビジョンステップでは、エッジの長さが半分になり、面の数が4倍になり、近似誤差が1〜4倍になります。
2つのサーフェスレイヤーが非多様体の頂点で交差しています（左）。非多様体エッジには、3つ以上の入射面（中央）があります。
有名なオイラーの公式[Coxeter 89]は、閉じたメッシュと接続された（ただし構造化されていない）メッシュの頂点V、エッジE、および面Fの数の間の興味深い関係を指摘しています。
ここでgは下図の属であり、ほとんどの実際のアプリケーションではアナログ要素の数が少ないため、上式の右辺は無視できると考えることができます。これを念頭に置き、各三角形が3つの辺で囲まれ、各内部多様体の辺には2つの三角形が付随するという事実を踏まえて、以下の興味深いグリッド統計を導出できます。
三角形の数は頂点の数の2倍です：F≈2V。
エッジの数は頂点の数の3倍です：E≈3V。
頂点の平均価格（インシデントエッジの数）は6です。
