データ構造とアルゴリズムの学習の毎日のデモ
クラスカルのアルゴリズムの紹介
クラスカルアルゴリズムの例
問題イラスト
n個の頂点を持つ接続されたグラフのn-1エッジを選択して最小接続サブグラフを形成し、接続されたサブグラフのn-1エッジの重みの合計を最小にしてから、接続されたと呼びますネットの最小全域木。
- 手順1：
Rにエッジ<E、F>を追加します。エッジ<E、F>は最小の重みを持つため、最小スパニングツリー結果Rに追加されます。 - ステップ2：
Rにエッジ<C、D>を追加します。前の操作の後、エッジ<C、D>の重みは最小であるため、最小スパニングツリー結果Rに追加されます。 - ステップ3：
Rにエッジ<D、E>を追加します。
前の操作の後、エッジ<D、E>の重みは最小であるため、最小スパニングツリー結果Rに追加されます。 - 手順4：
Rにエッジ<B、F>を追加します。前の操作の後、エッジ<C、E>の重みは最小ですが、<C、E>は既存のエッジとループを形成するため、エッジ<C、E>をスキップします。同様に、エッジ<C、F>をスキップします。エッジ<B、F>を最小全域木結果Rに追加します。 - ステップ5：
エッジ<E、G>をRに追加します。最後の操作の後、エッジ<E、G>の重みが最小になるため、最小スパニングツリー結果Rに追加されます。 - ステップ6：
エッジ<A、B>をRに追加します。前の操作の後、エッジ<F、G>の重みは最小ですが、<F、G>は既存のエッジとループを形成するため、エッジ<F、G>をスキップします。同様に、エッジ<B、C>をスキップします。エッジ<A、B>を最小スパニングツリーの結果Rに追加します。
この時点で、最小のスパニングツリー構築は完了です。含まれるエッジは、<E、F> <C、D> <D、E> <B、F> <E、G> <A、B>です。
アルゴリズム分析
前に紹介したCruzeアルゴリズムの基本的な考え方と方法によれば、Cruzeアルゴリズムは解決する必要のある次の2つの問題に焦点を当てていることがわかります。
問題は、1組のグラフのすべてのエッジが重み値に従ってソートされることです。
質問2：最小全域木にエッジを追加するときに、ループが形成されているかどうかを判断する方法。
- 最初の問題は、並べ替えに並べ替えアルゴリズムを使用することです。
- 問題2、処理方法は、「最小の全域木」に頂点の終点を記録し、頂点の終点は「最小全域木でそれに接続されている最大の頂点」です。その後、最小全域木にエッジを追加する必要があるたびに、エッジの2つの頂点の端点が一致するかどうかが判断され、一致する場合はループが形成されます。
ループを生成するかどうかを決定する
エンドポイントに関するメモ：
- これは、すべての頂点を小さいものから大きいものの順に配置することであり、特定の頂点の終点は「それに接続されている最大の頂点」です。
- したがって、次に、<C、E>が最小の重みを持つエッジです。ただし、CとEの終点はどちらもF、つまり終点が同じであるため、<C、E>を最小全域木に追加するとループが形成されます。これは、回路が判断される方法です。つまり、結合するエッジの2つの頂点が同じ終点を指すことはできません。そうでない場合は、ループを形成します。
コードの実装
public class KruskalDemo {
private int edgeNum; // 边的个数
private char[] vertexs; // 顶点数目
private int[][] matrix; // 邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 使用INF表示两个顶点不能连通
public KruskalDemo(char[] vertexs, int[][] matrix) {
this.vertexs = vertexs;
this.matrix = matrix;
// 统计边的条数
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
this.edgeNum++;
}
}
}
}
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为:");
for (int[] ints : this.matrix) {
for (int anInt : ints) {
System.out.printf("%12d", anInt);
}
System.out.println();
}
}
// 返回顶点的下标
private int getPosition(char c) {
return Arrays.binarySearch(this.vertexs, c);
}
// 获取图中所有的边,后面需要遍历该集合
// 通过邻接矩阵来获取
private ArrayList<EData> getEdges() {
int index = 0;
ArrayList<EData> datas = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
datas.add(new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]));
}
}
}
return datas;
}
// 获取下标为i的顶点的终点
// ends[]记录了各个顶点对应的终点是哪一个,ends数组是在遍历过程中逐步形成的
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public void kruskal() {
int index = 0; // 表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[this.edgeNum]; // 保存已有的最小生成树,每个顶点在最小生成树中的终点
// 创建结果集,保存最小生成树
ArrayList<EData> rets = new ArrayList<>();
// 获取所有边集合
ArrayList<EData> edges = getEdges();
// 对边集合进行排序
Collections.sort(edges);
// 遍历edges,将边添加到最小生成树中时,判断准备的边是否形成了回路,没有才加入
for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
// 获取第i条边的第一个顶点的下标
int p1 = getPosition(edges.get(i).start); // <E,F> E:4 <E,G>
// 获取第i条边的第二个顶点的下标
int p2 = getPosition(edges.get(i).end); // F:5 G:6
// 获取p1下标顶点在已有的最小生成树中对应的终点
int m = getEnd(ends, p1); // Em:4 Em:5
// 获取p2下标顶点在已有的最小生成树中对应的终点
int n = getEnd(ends, p2); // Fn:5 Gn:6
// 判断是否构成回路即m,n是否相等
if (m != n) {
// 不构成回路
// 设置m在已有最小生成树中的终点
// 不需要ends[n] = n;
ends[m] = n; // ends[E:4] = F:5
rets.add(edges.get(i)); // 加入最小生成树集合
}
}
// 输出最小生成树
System.out.println("最小生成树:");
System.out.println(rets);
}
public static void main(String args[]) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
KruskalDemo kruskalDemo = new KruskalDemo(vertexs, matrix);
kruskalDemo.print();
kruskalDemo.kruskal();
}
}
// 边对象
class EData implements Comparable<EData> {
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权值
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "<" + start +
"," + end +
"> 权值=" + weight;
}
@Override
public int compareTo(EData o) {
return this.weight - o.weight;
}
}
アルゴリズムキー
例として<C、E>
// 获取下标为i的顶点的终点
// ends[]记录了各个顶点对应的终点是哪一个,ends数组是在遍历过程中逐步形成的
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
CとEの終点が同じ（F）でループを形成しているため、条件が満たされていません。
GitHub：データ構造とアルゴリズムのソースコード
