最短経路問題のいくつかのアルゴリズム

フロイドアルゴリズム

使用条件

複数のソースの最短経路を見つけることができ、負の重み側を処理できますが、負のループは発生しません。

時間の複雑さ

O（n ³）

説明する

フロイドアルゴリズムは動的計画法を使用しています。

       最初に上の写真を観察します。

       それについて考えてみましょう。これまでの経験によれば、任意の2点間の距離を短くしたい場合（たとえば、頂点aから頂点bまで）、3番目の点（頂点k）のみを導入してこれを渡すことができます。頂点kをa-> k-> bに転送することにより、頂点aから頂点bへの元の距離を短くすることができます。では、この通過の頂点kは1〜nのどれですか？1点だけでなく、2点以上の場合、転送が短くなることもあります。つまり、a-> k1-> k2b->またはa-> k1-> k2 ...-> k-> i ...- > b。たとえば、上の図の都市4から都市3までの距離e [4] [3]（4-> 3）は、もともと12でした。都市1のみを通過する場合（4-> 1-> 3）、距離は11に短縮されます（e [4] [1] + e [1] [3] = 5 + 6 = 11）。実際、City 1からCity 3は、City 2を経由して、City 1からCity 3への距離を短くすることもできます（e [1] [2] + e [2] [3] = 2 + 3 = 5 ）。したがって、2つの都市を同時に通過する場合、都市4から都市3までの距離はさらに10に短縮されます。この例を通して、各頂点が他の2つの頂点間の距離を短くする可能性があることがわかりました。では、この質問を一般化しましょう。

       3番目のポイントが2つのポイント間を通過できない場合、次のように、これらの都市間の最短距離が初期距離になります。

 

 2点ごとに転送ポイントを設定する場合は、この転送ポイントを使用する前または使用した後に、短いかどうかを確認します。2ポイントと転送ポイントの間の距離は、すでに最短距離です。それは最短の方法でなければなりません。

最も単純で失礼な方法を使用して、開始点、終了点、通過点を列挙するだけで済みます。

状態転送方程式：

d [i] [j] = min（d [i] [k] + d [k] [j]、d [i] [j]）

このようにして、フロイドのアルゴリズムのコアコードを簡単に作成できます。

また、「負の重みループ」を含むグラフには最短経路がないため、フロイドアルゴリズムは「負の重みループ」（または「負の重みループ」）を含むグラフを解くことができないことにも注意してください。たとえば、次のグラフには、頂点1から頂点3への最短パスがありません。1-> 2-> 3-> 1-> 2-> 3->…-> 1-> 2-> 3であるため、1->-2> 3などのループが巻かれるたびに、最短パスは最短時間になります1ずつ減少し、最短経路を見つけることはありません。実際、グラフに「負の重みループ」がある場合、このグラフには最短経路はありません。

コアコード

用（K = 1 ; K <= N; K ++）// 列挙通過点
    のためには、（私は= 1 ; I <= N; I ++）// 列挙出発点         
        のために（J = 1 ; J <= N; J ++）           // 列挙の終点 
            d [i] [j] = min（d [i] [k] + d [k] [j]、d [i] [j]）;

ダイクストラアルゴリズム

使用条件

単一のソースの最短経路を求めることは、負の重みを処理できません。

時間の複雑さ

O（n ²）

説明する

ダイクストラアルゴリズムは貪欲法を使用し、d [i]は開始点s0からiまでの最短距離を表します。

開始点s0から開始して、s0に最も近い未訪問のポイントiを選択します。これは最小のd [i]です。エッジの重みが正であるため、iに到達するための短いパスはなくなり、貪欲の正確さが保証されます。 。次に、iを中間点として使用し、iを介して到達できる点の最短距離を更新し、貪欲に進み、訪問されていない最も近い点を見つけます。貪欲のn回の後に、アルゴリズムは終了します。

写真を見てください：

 

この図によると、ダイクストラアルゴリズムはよく理解されているはずです。

コアコード

for（i = 1 ; k <= n; k ++ ）
{ 
    maxn = 0x7fffffff ;
     for（j = 1 ; j <= n; j ++）                  // 最小のd [j] 
    {
         if（！vis [j ] && d [j] < maxn）
        { 
            maxn = d [j]; 
            k = i; 
        } 

    } 
    vis [k] = 1 ;
     for（j = 1 ; j <= n; j ++）           // 中間点として、 D [j] 
        if （w [k] [j]）kを介して開始点を更新し、他の点に到達する
        {
            d [j] =最小{d [k] + w [k] [j]、d [j]}; 
        } 
}

SPFAアルゴリズム

使用条件

単一のソースの最短経路を見つけ、負の重みエッジを処理できます

時間の複雑さ

スパースグラフの場合、O（km）、kはより小さな定数であり、密度の高いグラフまたは構築されたグリッドグラフの場合、O（n * m）に増加します。

説明する

キューを作成します。最初は、キューには開始点のみがあります。開始点からすべての点までの最短パスを記録するテーブルを作成します（テーブルの初期値には最大値を割り当て、この点からそれ自体へのパスには0を割り当てます）。次に、スラック操作を実行し、キュー内のポイントを使用して、開始ポイントからすべてのポイントへの最短パスを更新します。更新が成功し、更新されたポイントがキューにない場合は、ポイントをキューの最後に追加します。キューが空になるまで実行を繰り返します。

図：

 

 

ソースAが最初にチームに入り、ABがリラックスする

A、B、Cに接続されている側を延長してチームに参加し、リラックスします。

BとCがそれぞれ拡張を開始し、Dがチームに参加してリラックスする

Dがチームを離れ、Eがチームに参加してリラックスします。

Eがキューを離れ、キューが空になり、ソースからすべてのポイントへの最短パスが見つかり、A-> Eの最短パスが8である

上記はSPFAアルゴリズムのプロセスです。

コアコード

q.push（s）; 
vis [s] = 1 ;   // ソースポイントsはエンキューされ、エンキューとしてマークされます
while （q.size（））
{ 
       u = q.front（）; q.pop（）; vis [ u] = 0 ;         // チームのヘッドを削除し、チーム
       に参加しないことをマークします（i = head [u]; i; i = next [i]）
       { 
              v = ver [i]; 
              w = edge [i];
               if（ dis [u] + w < dis [v]）
              { 
                     dis [v] = dis [u] + w;
                      if（！vis [v]）{q.push（v）; vis [v] = 1 ;}     / /キューにない場合は、エンキューし、エンキューをマークします
              }     
       } 
}