波に関する講義のレビュー

波に関する講義のレビュー

2020-4-13 chs_2020一般物理学I（H）

波動

線形波

重ね合わせの原理に従う波は線形波と呼ばれ、一般に小さな振幅によって特徴付けられます。超位置原理に違反する波は非線形波と呼ばれ、しばしば大きな振幅によって特徴付けられます。線形/非線形波の厳密な定義は次のとおりです。

Defこの波を支配するDEが線形/非線形である場合、波は線形/非線形と呼ばれます。

線形方程式の超後置原理

同次線形方程式の任意ソルンの線形結合は、同じ線形方程式のソルンでもあります。

干渉

結果として生じる波を生成するために、空間の同じ領域内の別々の波の組み合わせは干渉と呼ばれます。

反射

ニュートンの第3法則により、サポートは弦に等しい反対の反力を及ぼす必要があります。これにより、反射時にパルスが反転します。

自由境界条件

それがポストに到達すると、パルスはストリングの自由端に力を及ぼし、リングを上方に加速させます。その後、張力の下方成分がリングを引き下げます。

トランスミッション

境界がこれらの2つの端点の中間にある状況-入射パルスの一部が反射され、一部が透過します。つまり、一部のパルスが境界を通過します。

単原子結晶のモデル

平衡位置：\（X_n = na \）

平衡からの逸脱：\（u_n = x_n-X_n \）

したがって、\（u_ {n + 1} -u_n = x_ {n + 1} -x_ {n} -a \）

私たちの目的は波動方程式を与えることです。最初に原子間ポテンシャルの式を導出し、次に微分により、すべての単一粒子の運動方程式を取得します。

1. 最近傍の相互作用のみを考慮します。テイラー・エクスパンション、

\ [\ begin {align} \ phi（x_ {n + 1} -x_n）＆= \ phi_0 + \ frac {1} {2} K（x_ {n + 1} -x_n-a）^ 2 + \ cdots \ \＆= \ phi_0 + \ frac {1} {2} K（u_ {n + 1} -u_n）^ 2 + \ cdots \ end {align} \]

ここで、\（K \）は\（\ phi \）の 2次導関数によって与えられます。平衡位置にある2つの原子間に力がないため、Fisrt微分係数は平衡点で消失することに注意してください。

\ [U = \ frac {1} {2} K \ sum_ {n}（u_ {n + 1} -u_ {n}）^ 2 \]

2. ニュートンの第二法則により、

\ [\ begin {align} M \ ddot {u} _n = \ frac {\ mathrm {d} U \} {\ mathrm {d} u_n}＆= K（u_ {n + 1} -u_ {n}） -K（u_n-u_ {n-1}）\\＆\ approx（Ka）\ frac {\ partial u} {\ partial x} \ Big | _ {X_n + \ frac {a} {2}}-（Ka ）\ frac {\ partial u} {\ partial x} \ Big | _ {X_n- \ frac {a} {2}} \\＆\ approx（Ka ^ 2）\ Big（\ frac {\ partial ^ 2u} {\ partial x ^ 2} \ Big）_ {X_n} \ end {align} \]

3. 方程式を次のように書き換えます

\ [\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = \ frac {Ka ^ 2} {M} \ cdot \ frac {\ partial ^ 2u} {\ partial x ^ 2} \ qquad \ text {where} \ v = a \ sqrt {\ frac {K} {M}} \ \ text {波の伝播速度です} \ downarrow \]

波動方程式の係数

\ [\ text {線形波方程式：} \ qquad \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2f} {\ partial t ^ 2}-\ frac {\ partial ^ 2f} {\ partial x ^ 2} = 0 \]

進行波ならば\（F = F（X \午後VT）が\）この式のSOLNあり、その後、我々は簡単に持っている（C ^ 2 = V ^ 2 \）\、ひいては$ C $はあるの伝播速度波。

正弦波

弦の波の速さ

波長が振幅よりもはるかに大きいと仮定すると、ニュートンの第2法則と小角近似により、

\ [\ mu \ Delta x \ frac {\ partial ^ 2y} {\ partial \、t ^ 2} = T（x + \ Delta x）\ frac {\ partial y} {\ partial x} \ Big | _ {x + \ Delta x}-\、T（x）\ frac {\ partial y} {\ partial x} \ Big | _ {x} \]

\（T（x + \ Delta x）\）と\（T（x）\）を\（T \）で近似することは合理的です。

\ [\ frac {\ partial ^ 2y} {\ partial \、t ^ 2} = \ frac {T} {\ mu} \ frac {\ partial ^ 2y} {\ partial \、x ^ 2} \、\ qquad v = \ sqrt {\ frac {T} {\ mu}} \]

正弦波

線形波動方程式のソルンの最も重要なファミリーは\（y = A \ sin（kx- \ omega t + \ phi）\）で、ここで\（k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} \）は角波数、\（\ omega = \ frac {2 \ pi} {T} \）は角周波数、\（\ phi \）は位相定数です。なお、（V = \ FRAC {\ラムダ} {T} \）\、我々はSinusodial波動方程式を書き換える\（Y = A \罪\ビッグ[\ FRAC {2 \ PI} {\ラムダ}（X - \ lambda t）\ Big] \）、これは\（y = f（x-vt）\）の形式です。

\（Y = A \罪（kx- \オメガトン+ \ PHI）\）私たちが導き出す\（v_y = - \オメガA \ COS（kx- \オメガトン）\）と\（A_Y = - \オメガ^ 2A \ sin（kx- \ omega t）\）、したがって\（v_ {y、max} = \ omega A \）と\（a_ {y、max} = \ omega ^ 2A \）です。

エネルギー伝達率（弦上の正弦波）

\ [\ Delta U = \ frac {1} {2}（\ Delta m）\ omega ^ 2y ^ 2 = \ frac {1} {2}（\ mu \ Delta x）\ omega ^ 2y ^ 2 \]

\ [\ begin {align} dU＆= \ frac {1} {2} \ mu \ omega ^ 2 [A \ sin（kx- \ omega t）] ^ 2 \ mathrm {d} x \\＆= \ frac { 1} {2} \ mu \ omega ^ 2A ^ 2 \ sin ^ 2（kx- \ omega t）\ mathrm {d} x \ end {align} \]

単純調和振動の場合、総エネルギー\（E = K + U \）はconstであることを思い出してください。これは、\（\ mathrm {d} E = \ mathrm {d} K + \ mathrm {d} U \）を意味するため、

\ [P = \ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} \、t} = \ frac {\ frac {1} {2} \ mu \ omega ^ 2A ^ 2 \ mathrm {d} x } {dt} = \ frac {1} {2} \ mu \ omega ^ 2A ^ 2v \]

干渉

同じ周波数、波長、振幅、方向。別のフェーズ。

\ [\ begin {align} y_1＆= A \ sin（kx- \ omega t）\\ y_2＆= A \ sin（kx- \ omega t + \ phi）\\ \\ y＆= y_1 + y_2 = 2A \ cos \ Big （\ frac {\ phi} {2} \ Big）\ sin \ Big（kx- \ omega t + \ frac {\ phi} {2} \ Big）\ end {align} \]

1. 場合\（\ COS（\ PHI / 2）= \ PM 1 \） 、波の位相がどこにでもあること、したがって、建設的干渉と言われています。2）\（\ cos（\ phi / 2）= 0 \）の場合、結果として生じる波は、破壊的な干渉の結果として、どこでも振幅がゼロになります。

ビート

ビートとは、わずかに異なる周波数を持つ2つの波の重ね合わせによる、特定のポイントでの強度の周期的な変動です（\（\、\）、つまり\（| f_1-f_2 | \）は非常に小さい）。

\ [\ begin {align} y_1＆= A \ cos（2 \ pi f_1 t）\\ y_2＆= A \ cos（2 \ pi f_2 t）\\ \\ y＆= y_1 + y_2 = 2A \ cos \ Big（2 \ pi \ frac {f_1-f_2} {2} t \ Big）\ cos \ Big（2 \ pi \ frac {f_1 + f_2} {2} t \ Big）\ end {align} \]

結果として生じる波の振幅は時間とともに変化します。

\ [\ displaystyle A _ {\ mathrm {resultant}} = 2A \ cos \ Big（2 \ pi \ frac {f_1-f_2} {2} t \ Big）\]

包絡関数の2つの隣接する最大値は、\（\ displaystyle \ Delta t = \ frac {1} {f_1-f_2} \）で区切られます。そしてビート周波数：\（\ displaystyle f_b = | f_1-f_2 | \）です。

定在波

定在波-同じ周波数、波長、振幅。別の方向。

\ [\ begin {align} y_1＆= A \ sin（kx- \ omega t）\\ y_2＆= A \ sin（kx + \ omega t）\\ \\ y＆= y_1 + y_2 = 2A \ sin（kx）\ cdot \ cos（\ omega t）\ end {align} \]

1. 元の波のどちらかの伝播方向の動きの感覚はありません。2）媒体のすべての粒子は、同じ周波数で単純な調和運動で振動します。3）個々の波の振幅は場所によって異なります。

\ [\ begin {align}＆\ text {Nodes：} \ quad kx = n \ lambda \ qquad＆x = \ frac {\ lambda} {2}、\ frac {2 \ lambda} {2}、\ frac {3 \ lambda} {2}、\ cdots \\＆\ text {Antinodes：} \ quad kx =（n + \ frac {1} {2}）\ lambda \ qquad＆x = \ frac {\ lambda} {4}、\ frac {3 \ lambda} {4}、\ frac {5 \ lambda} {4}、\ cdots \ end {align} \]

隣接するノード/波腹の間の距離は波長の半分であり、ノードと隣接する波腹の間の距離は波長の4分の1です。

エネルギーはノードを横切ってストリングに沿って送信されず、エネルギーは定在波で伝播しません。

両端が固定された文字列（トランスバースバージョン）を考えます。気柱内の定在波を考慮してください（縦バージョン）。

ハーモニックシリーズ

一般に、両端で固定された長さ\（L \）のストリングのさまざまなノーマルモードの波長は、\（\ lambda_ {n} = 2L / n \ quad n = 1,2,3、\ mathrm {etcです。 。} \）、対応する周波数\（f_n = v / \ lambda_ {n} = n \ cdot v / 2L \ quad n = 1,2,3、\ mathrm {etc。} \）で、調和級数を形成します、ノーマルモードはハーモニクスと呼ばれます。

音波

空気中の音波

\ [\ begin {align} \ text {Displacement} && s（x、t）\\ \ text {Density} && \ rho（x、t）\\ \ text {Pressure} && P（x、t）\\ \ end {align} \]

（初期密度）\（\ rho_0 \ longrightarrow \ rho = \ rho_0 + \ rho_e \）（変位密度）

変位変化と密度超過

\ [\ rho_e =-\ rho_0 \ frac {\ partial s} {\ partial x} \ qquad \]

粒子数は変化しません：

\ [\ begin {align} \ rho_0（x + \ Delta xx）＆= \ rho [x + \ Delta x + s（x + \ Delta x）-xs（x、t）] \\\ rho_0 \ Delta x＆= \ rho [\ Delta x + \ frac {\ partial s} {\ partial x} \ Delta x] \\ 0＆= \ rho_e + \ rho_0 \ frac {\ partial s} {\ partial x} \ qquad \ text {過剰な密度} \ rho_e \ text {is tiny} \ end {align} \]

圧力変化vs密度過剰

\ [P_e = \ kappa \ rho_e \ qquad \ kappa = \ frac {dP} {d \ rho} \ Big | _ {\ rho_0} \]

音の波動方程式

\ [\ frac {1} {\ kappa} \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial t ^ 2} = \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial x ^ 2} \]

$$ \ text {体積に加えられる力（単位面積あたり）=圧力差} $$

\ [\ begin {align} \ rho_0 \ Delta x \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial t ^ 2} =-\ frac {\ partial P} {\ partial x} \ Delta x \ end {align} \ ]

なお、 \ - \ displaystyle \ FRAC {\部分P} {\部分X} = \ FRAC {\部分P_E} {\部分X} = \カッパ\ FRAC {\部分\ rho_e} {\部分のx} =（\カッパ\ rho_0 \ FRAC {\部分^ 2S} {\部分のx ^ 2} \） 、それゆえ我々は入手 \ displaystyle \ FRAC {1} {\カッパ}（\ \ FRAC {\部分^ 2S} {\部分T ^ 2} = \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial x ^ 2} \）。

音波の速度

\ [\ begin {align} v＆= \ sqrt {\ kappa} \\ P_e＆= v ^ 2 \ rho_e \ end {align} \]

ラウドネス

周期的な音波ソルンを取る

\ [s（x、t）= s_ {max} \ cos（kx- \ omega t）\]

過剰な圧力波は変位と\（\ pi / 2 \）位相がずれています

\ [P_e（x、t）= \ rho_0v \ omega s_ {max} \ sin（kx- \ omega t）\]

Rmk 平衡大気圧\（\約1 \ times 10 ^ 5 \ mathrm {Nm} ^ {-2} \）。可聴超過圧力振幅\（\ approx 2 \ times 10 ^ {-5} -30 \、\ mathrm {Nm} ^ {-2} \）。大きさのオーダーしか聞こえません...

デシベル

騒音レベルは対数目盛で測定されます

\ [\ beta = 10 \ log \ left（\ frac {P_ {e}} {P_ {e、ref}} \ right）\ qquad \ mathrm {where} \ P_ {e、ref} = 2 \ times 10 ^ {-5} \ mathrm {Nm} ^ {-2} \]

スケールはデシベル（dB）と呼ばれます。デシベルはベルの\（1/10 \）です。

音の強さ

波の強度は、おおよそ単位面積あたりのパワーです。より正確には、

\ [I = \ frac {\ mathscr {P}} {A} = \ frac {1} {2} \ rho v（\ omega s_ {max}）^ 2 \]

固体/液体中の音波

固体/流体の弾性特性は、音波を支える復元力の役割を果たします。

単位断面積あたりのオブジェクトに作用する外力を強調

ひずみ変形の程度の尺度

弾性係数比例定数。（材料と変形の性質に依存）

• ヤング率\（\ displaystyle Y = \ frac {F / A} {\ Delta L / L_i} \）
• せん断弾性係数\（S = \ frac {shear \ stress} {shear \ひずみ} \）
• 体積弾性率\（\ displaystyle B =-\ frac {\ Delta P} {\ Delta V / V_i} \）

$$ \ Delta P = -B \ frac {\ Delta V} {V_i} $$

\ [\ frac {\ Delta V} {V} = \ frac {A [s（x + \ Delta x、t）-s（x、t）]} {A \ Delta x} = \ frac {\ partial s（ x、t）} {\ partial x} \ qquad \ mathrm {as} \ \ Delta x \ to0 \]

したがって、

\ [P_e（x、t）=-B \ frac {\ partial s（x、t）} {\ partial x} \]

\ [\ text {体積に加えられる力（単位面積あたり）=圧力差} \]

\ [\ begin {align} \ rho_0 \ Delta x \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial t ^ 2} =-\ frac {\ partial P} {\ partial x} \ Delta x \ end {align} \ ]

なお、（\ \ displaystyle \ FRAC {\部分P} {\部分X} = \ FRAC {\部分P_E} {\部分X} = - B \ FRAC {\ ^ 2S部分} {\部分のx ^ 2} \ ）、波動方程式を取得します

\ [\ frac {1} {B / \ rho_o} \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial t ^ 2} = \ frac {\ partial ^ 2s} {\ partial x ^ 2} \]

音速は

\ [v = \ sqrt {B / \ rho_0} \]

一般に、すべての機械波の速度は次の形式の表現に従います

\ [v = \ sqrt {\ frac {elastic \ prop} {inertial \ prop}} \]

ソナー波

水の体積弾性率\（B = 2 \ times 10 ^ 9 \ mathrm {Pa} \）

水の密度\（\ rho = 1 \ times 10 ^ 3 \ mathrm {kg / m} ^ 3 \）

\（\ implies \） \（v = \ sqrt {B / \ rho} = 1414 \ mathrm {m / s} \）

水中の速度（波長）\（> \）空気中の速度（波長）

この周波数のソナー波は、波長とほぼ同じくらい小さい物体を感知できます。

ドップラー効果（非相対論的）

1）

通常の場合、

\ [\ begin {equation} f = \ frac {1} {T} = \ frac {c} {\ lambda} \ end {equation} \]

2）

この場合、\（\ lambda \）は変更されずに観測されますが、速度は\（c + v_0 \）になりました。したがって

\ [\ begin {equation} f '= \ frac {1} {T'} = \ frac {c + v_0} {\ lambda} = \ frac {c + v_0} {c / f} = \ left（1+ \ frac {v_0} {c} \ right）f \ end {equation} \]

3）

この場合、\（v \）は変更されずに観測されますが、観測された波長は\（\ lambda \）ではなく、下の図で確認できますが、\（\ lambda-v_sT \）です。したがって

\ [f '= \ frac {1} {T'} = \ frac {c} {\ lambda-v_sT} = \ frac {\ lambda f} {\ lambda-v_s / f} = \ frac {1} {1 -\ frac {v_s} {c}} f \]

4）一言で言えば（\（v_s <c \）を想定）

$$ \ begin {align} f '＆= \ frac {1} {T'} = \ frac {c + v_0} {\ lambda-v_sT} = \ frac {1+ \ frac {v_0} {c}} { 1- \ frac {v_s} {c}} f \ qquad \ text {互いに近づきます} \\ f '＆= \ frac {1} {T'} = \ frac {c-v_0} {\ lambda- v_sT} = \ frac {1- \ frac {v_0} {c}} {1- \ frac {v_s} {c}} f \ qquad \ text {S chasing O} \ end {align} $$他の2つのケース$$ \ begin {align}＆f '= \ frac {1- \ frac {v_0} {c}} {1+ \ frac {v_s} {c}} f \ qquad \ text {互いに離れる} \ \＆f '= \ frac {1+ \ frac {v_0} {c}} {1+ \ frac {v_s} {c}} f \ qquad \ text {O追跡S} \ end {align} $$

衝撃波（\（v_s> v \））

Macn番号：\（v_s / v \）

\（\ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {v_s} {v} \）