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タイトル
\（n \）グループに尋ねられ、毎回\（a、b、c、d、k \）を与え、\（\ sum \ limits_ {x = a} ^ {b} \ sum \ limits_ {y = c} ^ {d} [\ gcd（x、y）= k] \）
アイデア
包含と除外の原理+数論ブロック+メビウス反転
私が作ったメビウス反転の最初の質問==
设\（f（n、m）= \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {m} [\ gcd（i、j）= k] \）
次に、許容範囲と除外の原則に従って、問題の式は\（f（b、d）-f（b、c-1）-f（a-1、d）+ f（a-1、c- 1）\）
したがって、次の質問は、\（f \）の値を見つける方法です。
では、\（f \）の値を単純化しましょう
-
元の数式は$$ \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ lfloor \ frac {n} {k} \ rfloor} \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {\ lfloor \ frac {と同等であると簡単に結論できます。 m} {k} \ rfloor} [\ gcd（i、j）= 1] $$
-
以降| \（N- \ MU（D）= [N- = 1] \ \イプシロン（N）= \ SUM \ limits_ {D}） 、それによって元の式に
- 列挙オブジェクトを変更して列挙順序を変更するには、最初に\（d \）を列挙してから、
つまり、\（d | i \）および\（d | j \）の場合、\（d | \ gcd（i、j）\）
- 容易に入手可能な\（1 \ SIM \ lfloor \ FRAC {n}は{K} \ rfloor \） の合計\（\ lfloor \ FRAC {N } {DK} \ rfloor \） \（D \）同一の複数リー\（1 \ SIM \ lfloor \ FRAC {M} {K} \ rfloor \） の合計（\ lfloor \ FRAC {M \ } {DK} \ rfloor \） \（D \）倍、元のように式は$$ \ sum \ limits_ {d = 1} ^ {\ min（n、m）} \ mu（d）\ lfloor \ frac {n} {dk} \ rfloor \ lfloor \ frac {m} {dk } \ rfloor $$
現時点では、\（O（n）\）で解くことができますが、同じ値を持つ間隔が多いため合格できません。そのため、数論を使用してブロックできます。
最初に前処理\（\ mu \）、次に数論を使用してブロックし、複雑さ\（O（n + T \ sqrt n）\）
私のコードは毎回形而上学を評価し、評価マシンの気分を見て、書くことをお勧めします
コード
/*
Author:loceaner
*/
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int A = 1e6 + 11;
const int B = 1e6 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
return x * f;
}
int n, a, b, c, d, k, cnt, p[A], mu[A], sum[A];
bool vis[A];
void getmu() {
int MAX = 50010;
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= MAX; i++) {
if (!vis[i]) mu[i] = -1, p[++cnt] = i;
for (int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= MAX; j++) {
vis[i * p[j]] = true;
if (i % p[j] == 0) break;
mu[i * p[j]] -= mu[i];
}
}
for (int i = 1; i <= MAX; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}
int work(int x, int y) {
int ans = 0ll;
int max = min(x, y);
for (int l = 1, r; l <= max; l = r + 1) {
r = min(x / (x / l), y / (y / l));
ans += (1ll * x / (l * k)) * (1ll * y / (l * k)) * 1ll * (sum[r] - sum[l - 1]);
}
return ans;
}
void solve() {
a = read(), b = read(), c = read(), d = read(), k = read();
cout << work(b, d) - work(a - 1, d) - work(b, c - 1) + work(a - 1, c - 1) << '\n';
}
signed main() {
getmu();
int T = read();
while (T--) solve();
return 0;
}