Connaissances préalables : formule de Newton-Leibniz
Parité
ensemble fff在[ − une , une ] ( une > 0 ) [-a,a](a>0)[ - une ,un ] ( un>0 ) , alors
∫ − aaf ( X ) dx = { 2 ∫ 0 af ( X ) dx , f est une fonction paire 0 , f est une fonction impaire\int_{-a}^af(x)dx=\begin{cases} 2\ int_0^ af(x)dx,\qquad f est une fonction paire\\ 0,\qquad\qquad\qquad \ \ f est une fonction impaire\end{cases}∫− ununf ( X ) ré X={ 2∫0unf ( X ) ré X ,f est une fonction paire0 , f est une fonction
Preuve : Pour ∫ − a 0 f ( x ) dx \int_{-a}^0f(x)dx∫− un0f ( X ) ré X，令x = − tx=-tX=− t , alors
∫ - une 0 F ( X ) dx = ∫ une 0 F ( - t ) ré ( - t ) = - ∫ une 0 F ( - t ) dt = ∫ 0 af ( - t ) dt = ∫ 0 af ( - X ) dx \int_{-a}^0f(x)dx=\int_a^0f(-t)d(-t)=-\int_a^0f(-t)dt=\int_0^af(-t)dt= \int_0^af(-x)dx∫− un0f ( X ) ré X=∫un0f ( - t ) ré ( - t )=−∫un0f ( - t ) ré t=∫0unf ( - t ) ré t=∫0unf ( - X ) ré X
\qquad所以原式= ∫ 0 af ( X ) dx + ∫ − une 0 f ( X ) dx = ∫ 0 af ( X ) dx + ∫ 0 af ( − X ) dx =\int_0^af(x)dx+\int_{ -a}^0f(x)dx=\int_0^af(x)dx+\int_0^af(-x)dx=∫0unf ( X ) ré X+∫− un0f ( X ) ré X=∫0unf ( X ) ré X+∫0unf ( - X ) ré X
= ∫ 0 une [ F ( X ) + F ( − X ) ] dx \qquad\qquad\qquad =\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx=∫0un[ f ( x )+f ( - X )] ré X
= { 2 ∫ 0 af ( x ) dx , f est une fonction paire 0 , f est une fonction impaire\qquad\qquad\qquad =\begin{cases} 2\int_0^af(x)dx,\qquad f est une fonction paire\ \ 0,\qquad\qquad\qquad \ \ f est une fonction impaire \end{cases}={ 2∫0unf ( X ) ré X ,f est une fonction paire0 , f est une fonction
périodiquement
ensemble fff estTTT est une fonction continue périodique, alors pour tout nombre réelaaa , les deux ont
∫ aa + T f ( X ) dx = ∫ 0 T f ( X ) dx \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx∫unun + Tf ( X ) ré X=∫0Tf ( X ) ré X
证明：
∫ aa + T f ( X ) dx = ∫ une 0 F ( X ) dx + ∫ 0 T f ( X ) dx + ∫ T a + T f ( X ) dx \int_a^{a+T}f( x)dx=\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x)dx+\int_T^{a+T}f(x)dx∫unun + Tf ( X ) ré X=∫un0f ( X ) ré X+∫0Tf ( X ) ré X+∫Jun + Tf ( X ) ré X
\qquadSoit x = t + T x = t + TX=t+T , alors
∫ T une + T f ( X ) dx = ∫ 0 af ( t + T ) dt = ∫ 0 af ( t ) dt \int_T^{a+T}f(x)dx=\int_0^af(t+T )dt=\int_0^af(t)dt∫Jun + Tf ( X ) ré X=∫0unf ( t+T ) d t=∫0unf ( t ) ré t
\qquaddonc
∫ aa + T f ( X ) dx = ∫ une 0 F ( X ) dx + ∫ 0 T f ( X ) dx + ∫ T a + T f ( X ) dx \qquad\int_a^{a+T}f( x)dx=\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x)dx+\int_T^{a+T}f(x)dx∫unun + Tf ( X ) ré X=∫un0f ( X ) ré X+∫0Tf ( X ) ré X+∫Jun + Tf ( X ) ré X
= ∫ une 0 F ( X ) dx + ∫ 0 T F ( X ) dx + ∫ 0 af ( X ) dx \qquad\qquad\qquad\qquad =\int_a^0f(x)dx+\int_0^Tf(x) dx+\int_0^af(x)dx=∫un0f ( X ) ré X+∫0Tf ( X ) ré X+∫0unf ( X ) ré X
= ∫ 0 T F ( X ) dx \qquad\qquad\qquad\qquad =\int_0^Tf(x)dx=∫0Tf ( X ) ré X