LDLT ; matrice définie symétrique réelle (semi) positive ; sous-forme principale séquentielle ; développement de Taylor

Introduction à la méthode de décomposition LDLT

Si A est une matrice symétrique et que l'une de ses sous-formes principales d'ordre k n'est pas nulle, alors A a la forme de décomposition unique suivante : A=LDL ^ T.
Parmi eux, L est une matrice unitaire triangulaire (c'est-à-dire que les principaux éléments diagonaux sont tous 1), D est une matrice diagonale (seuls les éléments sont sur la diagonale principale et les autres sont nuls) et L^T est la transposition matrice de L .
La méthode de décomposition LDLT est en fait une amélioration de la méthode de décomposition de Cholesky, car bien que la méthode de décomposition de Cholesky ne nécessite pas la sélection de pivots, le problème de la racine carrée est impliqué dans le processus de fonctionnement, et la méthode de décomposition LDLT évite ce problème et peut être utilisé pour résoudre des équations linéaires.
En supposant un système d'équations linéaires Ax=b,
appliquez la méthode de décomposition LDL^T : A=LU=LDL ^T, c'est-à-dire LDL ^Tx=b,
soit DL^Tx=y, c'est-à-dire Ly=b,
puis résolvez le système d'équations linéaires Ax=b En fait, il se décompose en deux étapes :
1. Obtenir y à partir de Ly=b
2. Obtenir x à partir de DL^Tx=y (ou L ^Tx=D ^ (-1)y.

Matrices définies symétriques réelles (semi) positives

Soit A une matrice réelle symétrique, si pour chaque vecteur réel non nul X, il existe X'AX>0, alors A est appelée matrice définie positive, et X'AX est appelée forme quadratique définie positive.
Supposons que A soit une matrice symétrique réelle, si pour chaque vecteur réel X non nul, il existe X'AX≥0, alors A est appelée matrice semi-définie positive, et X'AX est appelée forme quadratique semi-définie positive .
Pour la matrice A symétrique réelle d'ordre n, les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) A est une matrice définie positive ;
(2) toutes les sous-formes principales d'ordre de A sont positives ;
(3) toutes les sous-formes principales de A sont positives ;
( 4 ) Les valeurs propres de A sont toutes positives ;
(5) Il existe une matrice réelle inversible C, telle que A=C′C ;
(6) Il existe une matrice réelle m×n B de rang n, telle que A =B′B ;
(7) Il existe une matrice triangulaire réelle R dont les principaux éléments diagonaux sont tous positifs, de sorte que A=R′R

La sous-forme séquence principale consiste à convertir certains éléments de la matrice carrée d'ordre n en forme déterminante.
Le déterminant d'ordre k d'une matrice carrée est composé des k premières lignes et des k premières colonnes de la matrice carrée.
Pour une matrice carrée A d'ordre n, elle a des sous-formes principales d'ordre n. En calculant toutes les sous-formes principales séquentielles de la matrice carrée A, on peut juger si une forme quadratique réelle est définie positive ou si la matrice carrée A est une matrice définie positive, et si la matrice carrée A peut être décomposée de manière unique par LU.

La formule couramment utilisée pour le développement de Taylor de f(x) en x=a est f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)/2 ! (xa)^2+...+f(n)(a)/n ! *(xa)^n.