最初の 2 つのセクションでは、誕生日問題を解くためのアルゴリズムを導き出しましたが、数学の最終目標は、アインシュタインの有名な質量エネルギー方程式 E = MC^2 のように、この問題に対するシンプルで美しい式を導き出すことです。結局のところ、数学は世界の性質を理解するために記号論理を使用する言語であるため、おしゃべりは数学ではありません。大音量の記号式が数学のスタイルです。
ここでは微積分の内容が必要です。まず、前の章で、n 人のうち 2 人が同じ誕生日ではない確率は次のように推定しました。
数学で複数の数値の乗算を見たとき、それに対処する最初の方法は、乗算を加算に変更することです。掛け算よりも簡単で、扱いがはるかに簡単です。このことから、上記の式の両辺の対数を同時に取得するだけで、乗算を加算に変えることができます。
次に、微積分のテクニックを使用して、式 log(1-x) にいくつかの変換を行う必要があります。微積分の原理によれば、特定の点での関数の導出は、本質的に、その点での関数の対応する曲線の接線です。
関数 f(x) の場合、点 a での接線の傾きは、点 a でのその接線の傾きとなります。点 a. 導関数 f'(a) から、上図の点線に対応する直線方程式 g(x) は g(x) = f(a) + f'(a)(xa) となります。上の図から、黒い点線と青い曲線の間の「ギャップ」が青い点 a の近くで小さくなっていることがわかります。つまり、x が a に近づくと、g(x) と f( x) 値の差が小さいほど、x=a の場合、g(a)=f(a) となるため、x と a の間の距離が非常に近い場合、g(x) の値を使用して近似できます。 f(x)。
f(x)=log(1-x) の場合、その導関数は f'(x)=-1/(1-x) であり、a=0 とすれば、 f'(a)=f'(0 ) となります。 =-1 の場合、0 点における log(1-x) の接線方程式は g(x)=f(0)+f'(0)*(x-0)=log(1-0)+( - 1)*(x)=0 + (-1)*(x)=-x。log(1-k/365) に戻ります。k の値が 365 から遠く離れている場合、k/365 の値は 0 に近づくため、g(k) を使用して log(1-k) を近似できます。 /365 )、つまり:
したがって、次のようになります。
そして、合計の公式があるため、次のようになります。
p(n)=1/2 を上記の式に代入すると、次のようになります。
上の式から、n の値は 22.49 であると計算できます。日数は四捨五入する必要があるため、n の値は 23 になります。式内の 365 は 1 年の日数に対応することに注意してください。私たちは地球ではなく火星または冥王星にいます。その場合、1 年は 365 日ではありません。変数 D を使用して現地の年の日数を表すと、対応する確率は次のようになります。
上記の式は私たちが導き出したい目標であり、そうして初めて数学的能力が真に明らかになります。詳しくはステーションbのコーディングディズニーで検索してください。