[Reconstrucción 3D] Geometría de la cámara

modelo de cámara estenopeica

Para facilitar nuestro modelado matemático del modelo de cámara estenopeica, a menudo estudiamos el plano de la imagen virtual, porque la dirección del plano de la imagen virtual es consistente con la dirección de nuestro objeto real.

El mapeo de coordenadas tridimensionales a coordenadas bidimensionales se puede obtener mediante el método de triángulos similares.

$P=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \rightarrow {P}'=\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} \left\{\begin{matrix } x' = f\frac{{x}}{z} \\ y'=f\frac{{x}}{z} \\ \end{matrix}\right.$

Mueva las coordenadas de origen del plano de la imagen a la esquina inferior izquierda:

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( f\frac{x}{z} +c_x{},f\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

Agregue la conversión de unidades del mundo real (m) a unidades de imagen digital (píxeles):

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( fk\frac{x}{z} +c_x{},fl\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

En este punto, se completa el mapeo de las coordenadas de la cámara a las coordenadas del plano de la imagen:

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

Coordenadas homogéneas

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

En la fórmula anterior, z cambiará, por lo que P a P 'no es una transformación lineal. Necesitamos hacer referencia a coordenadas homogéneas para que sea una transformación lineal.

Convertir coordenadas euclidianas en coordenadas homogéneas es agregar una dimensión al final y hacer que su valor sea 1.

$\left ( x,y \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$ $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\z\\ 1 \end{bmatrix}$

Convierta coordenadas homogéneas a coordenadas euclidianas:

$\begin{bmatrix} x\\y\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w)$ $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w,z/w)$

Los resultados de convertir coordenadas homogéneas a coordenadas euclidianas no son una correspondencia uno a uno. Por ejemplo, (1, 1, 1) y (2, 2, 2) se convierten a coordenadas euclidianas y ambas son (1, 1). Hay una diferencia de coeficiente entre ellos.

Los elementos de la matriz M son fijos. Después de convertirse en coordenadas homogéneas, P a P' es una transformación lineal.

matriz de proyección

Debido al proceso de fabricación, es posible que el plano de la imagen no sea un rectángulo, por lo que es necesario mapearlo $\theta$ para modelarlo.

IM se llama matriz de proyección y K se llama matriz de parámetros intrínsecos de la cámara.

Lo que hemos completado hasta ahora es el mapeo del sistema de coordenadas de la cámara al sistema de coordenadas de píxeles. También necesitamos una matriz de parámetros externos para establecer el mapeo del sistema de coordenadas mundial al sistema de coordenadas de la cámara.

Consulte la clase de reconstrucción 3D del profesor Lu Peng:

Reconstrucción tridimensional de la visión por computadora (una introducción en profundidad a los algoritmos centrales de SfM y SLAM) -1. Geometría de la cámara_bilibili_bilibili