Problema 6 Diferencia de suma cuadrada
La suma de los cuadrados de los diez primeros números naturales es:
1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 1 0 2 = 385 \grande 1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2=38512+22+32+⋯+1 02=3 8 5
El cuadrado de la suma de los diez primeros números naturales es:
( 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 ) 2 = 5 5 2 = 3025 \grande (1+2+3+\cdots+10)^2=55^2=3025( 1+2+3+⋯+1 0 )2=5 52=3 0 2 5
Por tanto, la diferencia entre la suma de los cuadrados de los primeros diez números naturales y el cuadrado de la suma es:
3025 − 385 = 2640 \grande 3025 - 385 = 26403 0 2 5−3 8 5=2 6 4 0
Encuentra la diferencia entre la suma de los cuadrados de los primeros cien números naturales y el cuadrado de la suma.
Pregunta 6 La diferencia entre la suma de cuadrados y la suma de cuadrados.
La suma de los cuadrados de los diez primeros números naturales es:
1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 1 0 2 = 385 \grande 1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2=38512+22+32+⋯+1 02=3 8 5
El cuadrado de la suma de los diez primeros números naturales es:
( 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 ) 2 = 5 5 2 = 3025 \grande (1+2+3+\cdots+10)^2=55^2=3025( 1+2+3+⋯+1 0 )2=5 52=3 0 2 5
Por tanto, la diferencia entre la suma de los cuadrados de los diez primeros números naturales y la suma de los cuadrados es:
3025 − 385 = 2640 \grande 3025 - 385 = 26403 0 2 5−3 8 5=2 6 4 0
Encuentra la diferencia entre la suma de los cuadrados de los primeros cien números naturales y la suma de los cuadrados.
Análisis de ideas
La fórmula general para la suma de los cuadrados de los números naturales.
S ( 1 ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \large S(1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}S ( 1 )=6norte ( norte+1 ) ( 2 norte+1 )
Fórmula para el término general cuadrado de la suma de números naturales.
S ( 2 ) = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 \large S(2)=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2S ( 2 )=(2norte ( norte+1 ))2
Entonces la fórmula general del cuadrado de la suma y la diferencia de la suma de cuadrados es
S ( n ) = S ( 2 ) − S ( 1 ) = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 − n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \large S(n)=S(2) -S(1)=\izquierda ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}S ( n )=S ( 2 )−S ( 1 )=(2norte ( norte+1 ))2−6norte ( norte+1 ) ( 2 norte+1 )
= n ( n − 1 ) ( n + 1 ) ( 3 n + 2 ) 12 \large =\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{12}=1 2norte ( norte−1 ) ( n.+1 ) ( 3 norte+2 )
Código
/*
* @Author: coder-jason
* @Date: 2022-04-12 10:48:07
* @LastEditTime: 2022-04-12 11:16:45
*/
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n = 100;
long long int ans = n * (n - 1) * (n + 1) * (3 * n + 2) / 12;
cout << ans;
return 0;
}
Respuesta: 25164150