Fengse proviene del
qubit de Aofeisi | Cuenta pública QbitAI
En menos de un mes , se publicó otro artículo de Tao Zhexuan:
Esta vez se trataba de la secuencia monótona no decreciente de funciones de Euler , quien demostró una forma asintótica de una función llamada M(x) mediante argumentos elementales.
(Es decir, a medida que x aumenta, la tendencia de comportamiento de M(x))
Esta función fue mencionada en uno de sus blogs anteriores y generalmente se refiere a la longitud de la subsecuencia más larga en una serie de números del 1 al x que satisface que la función φ de Euler no sea decreciente.
No es sorprendente que también se haya utilizado la IA en la producción de este artículo.
Sin embargo, esta vez Terence Tao admitió:
Las herramientas de IA no son tan útiles para su investigación principal (pero también dijo que tal vez no quiera romper algunos hábitos existentes para intentarlo).
Lo que más le ayudó fue codificar y generar el primer borrador del diagrama de flujo del artículo .
Respecto al primero, Tao Zhexuan lo ha mencionado muchas veces.
GPT me permite no preocuparme por qué idioma se utiliza en las tareas informáticas (Python, SAGE, expresiones regulares, etc.). Casi solo necesito hacerle una solicitud en lenguaje natural y me generará un código calificado (aunque no Aún así tienes que compilarlo de nuevo).
Esto realmente empezó a cambiar mi flujo de trabajo.
En el pasado había evitado la resolución de tareas intensivas en código debido a mi miedo a las dificultades; ahora eso está desapareciendo y me doy cuenta de que estoy dispuesto a codificar algo en mi trabajo diario.
Entonces, echemos un breve vistazo a lo que dice este documento.
Prepárate para hacer crecer tu cerebro, tose, tose.
Secuencia monótona no decreciente de funciones de Euler
La investigación de este artículo involucra principalmente la función M(x), que define la longitud de la subsecuencia más larga de números del 1 al x. En esta subsecuencia, la función de Euler ψ no es decreciente.
(La función de Euler ψ (n) se usa generalmente para representar el número de números enteros positivos que son primos relativos con n entre los números enteros positivos menores o iguales que n)
Dado que los primeros valores de M son:
1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12,…
Así por ejemplo:
M(6) es igual a 5 .
Porque la función de Euler no es decreciente en el conjunto {1,2,3,4,5} o {1,2,3,4,6}, pero no en {1,2,3,4,5,6 } .
Y dado que para cualquier primo p, ψ(p)=p-1, tenemos M(x)≥π(x).
donde π(x) es la función de conteo de primos (utilizada para representar el número de números primos en un entero positivo menor o igual a x).
Empíricamente, estos números primos están muy cerca de la longitud máxima de M(x); Pollack, Pomerance y Treviño han derivado numéricamente la siguiente fórmula
x=10⁷ pulg.
En comparación, las gorras más famosas del pasado tenían esencialmente la siguiente forma:
Para esta fórmula, en la constante explícita C=0.81781, x→∞.
Combinando este resultado con el resultado anterior, Terence Tao obtuvo la fórmula asintótica :
Entonces en casos especiales :
Responde tanto a la pregunta de Erdős como a la pregunta estrechamente relacionada de Pollack, Pomerance y Treviño.
Tao Zhexuan dijo que la mayoría de los métodos utilizados en esta demostración son muy básicos (todo lo que se necesita para resolver los resultados más avanzados en teoría de números es el teorema de los números primos con un término de error clásico).
La idea básica es aislar un factor primo clave p en un número dado 1 ≤ n ≤ x, ya que tiene una influencia considerable en la función de Euler.
Por ejemplo, para un número n "típico", esto se puede factorizar como:
donde p2 es un número primo de tamaño mediano, p1 es el número significativamente mayor y d es un número con todos los factores primos menores que p2. Esto lleva a:
Por lo tanto, si mantenemos d fijo por ahora y colocamos n en un intervalo relativamente corto, entonces ψ solo puede ser no decreciente en n, si p2 tampoco es decreciente al mismo tiempo.
Resulta que, especialmente cuando p2 es grande, este enfoque reduce significativamente la posible longitud de secuencias no decrecientes en este mecanismo.
Este proceso se puede formalizar dividiendo el rango de p en varios subintervalos y examinando cómo (y el supuesto de monotonicidad en ψ) limita el valor de n asociado con cada subintervalo.
Y cuando p2 es pequeño, usamos factorización:
donde d es muy "suave" (es decir, no tiene factores primos grandes) y p es un número primo grande. Obtenemos una aproximación:
Y concluya: para que ψ no sea pequeño, la fracción en el lado derecho de la ecuación de reducción debe ser básicamente una constante por partes.
Después de un análisis más cuidadoso, podemos demostrar desigualdades preliminares y finalmente obtener el teorema principal para todos los números racionales positivos q:
Tao Zhexuan dijo que esto es en realidad un "pequeño milagro" y está relacionado con los siguientes hechos:
El término más bajo del factor primo grande del denominador en la fórmula (4) debe ser igual al factor primo más grande de d, lo que nos permite derivar el lado izquierdo de la fórmula (5) con mucha precisión, construyendo así fácilmente la fórmula completa ( 5).
En la última parte del artículo, Tao también analiza algunos contraejemplos aproximados de la conjetura fuerte (1), que muestran que puede ser difícil acercarse a probar esta conjetura sin asumir algunos "supuestos bastante sólidos".
Dirección del artículo:
https://arxiv.org/abs/2309.02325
Enlace de referencia:
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/111018835694062000
[2]https://terrytao.wordpress.com/2023/09/06 /secuencias-monótonas-no-decrecientes-de-la-función-del-totiente-de-euler/