Numpy es un paquete de Python que maneja cálculos en matrices de alta dimensión.
Sitio web oficial (www.numpy.org).
La diferencia entre lista y matriz.
Lista: los tipos de datos pueden ser diferentes - 3.1413, 'pi', 3.1404, [3.1401, 3.1349], '3.1376'
Matrices: mismo tipo de datos - 3.1413, 3.1398, 3.1404, 3.1401, 3.1349, 3.1376
matriz 1numpy y sus operaciones
1.1 Crear una matriz
import numpy as np
np.array([1,2,3,4,5])#把列表转为数组
array([1, 2, 3, 4, 5])
np.array((1,2,3,4,5))#把元组转换为数组
array([1, 2, 3, 4, 5])
np.array(range(5))#把range对象转换成数组
array([0, 1, 2, 3, 4])
np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#二维数组
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
Creación de matrices: np.arange() y np.linspace() con puntos delimitados
Dos de las formas más comunes de crear matrices numpy:
(1) rango de intervalo fijo: intervalo de tamaño de elemento fijo: arange (inicio, parada, paso)
Nota: la parada debe estar presente y el valor predeterminado es 1 si el inicio y el paso están ausentes.
np.arange(8)
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
np.arange(1,10,2)
array([1, 3, 5, 7, 9])
(2) Espacio lineal de punto fijo: número fijo de elementos: espacio lineal (start , stop , num)
Nota: start y stop deben estar presentes, y num es 50 por defecto si no es así.
np.linspace(0,10,11)#等差数组，包含11个数
array([ 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10.])
np.linspace(0,10,11,endpoint=False)#不包含终点
array([0. , 0.90909091, 1.81818182, 2.72727273, 3.63636364,
4.54545455, 5.45454545, 6.36363636, 7.27272727, 8.18181818,
9.09090909])
np.logspace(0,100,10)#相当于10**np.linspace(0,100,10)
array([1.00000000e+000, 1.29154967e+011, 1.66810054e+022, 2.15443469e+033,
2.78255940e+044, 3.59381366e+055, 4.64158883e+066, 5.99484250e+077,
7.74263683e+088, 1.00000000e+100])
np.logspace(1,6,5,base=2)#相当于2*np.linspace(1,6,5)
array([ 2. , 4.75682846, 11.3137085 , 26.90868529, 64. ])
Creación de matrices: uso de funciones en NumPy para crear matrices ndarray
np.zeros(3)#全0一维数组
array([0., 0., 0.])
np.ones(3)
array([1., 1., 1.])
np.zeros((3,3))#全0二维数组，3行3列
array([[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]])
np.zeros((1,3))#全0二维数组，1行3列
array([[0., 0., 0.]])
np.zeros((3,1))
array([[0.],
[0.],
[0.]])
np.ones((3,3))
array([[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.]])
np.ones((1,3))
array([[1., 1., 1.]])
np.identity(3)#单位矩阵
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
np.identity(2)
array([[1., 0.],
[0., 1.]])
np.empty((3,3))#空数组，只申请空间，不初始化
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
np.eye(3) # 单位矩阵，3行3列
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
np.hamming(20)#Hamming窗口
array([0.08 , 0.10492407, 0.17699537, 0.28840385, 0.42707668,
0.5779865 , 0.7247799 , 0.85154952, 0.94455793, 0.9937262 ,
0.9937262 , 0.94455793, 0.85154952, 0.7247799 , 0.5779865 ,
0.42707668, 0.28840385, 0.17699537, 0.10492407, 0.08 ])
np.blackman(10)#Blackman窗口
array([-1.38777878e-17, 5.08696327e-02, 2.58000502e-01, 6.30000000e-01,
9.51129866e-01, 9.51129866e-01, 6.30000000e-01, 2.58000502e-01,
5.08696327e-02, -1.38777878e-17])
np.kaiser(12,5)#Kaiser窗口
array([0.03671089, 0.16199525, 0.36683806, 0.61609304, 0.84458838,
0.98167828, 0.98167828, 0.84458838, 0.61609304, 0.36683806,
0.16199525, 0.03671089])
Use random () para crear matrices aleatorias de n dimensiones
np.random.randint(0,50,5)
array([28, 2, 43, 17, 22])
np.random.randint(0,50,(3,5))
array([[12, 47, 33, 10, 2],
[23, 6, 17, 7, 24],
[11, 39, 24, 26, 30]])
np.random.rand(10)
array([0.09670211, 0.99259248, 0.5341233 , 0.71901056, 0.90347888,
0.91331606, 0.08372737, 0.79742945, 0.31878994, 0.55094098])
np.random.standard_normal(5)#从标准正态分布中随机采样5个数字
array([-0.14415678, 1.08512822, 0.99102915, -0.49645761, -1.51070848])
x=np.random.standard_normal(size=(3,4,2))#3页4行2列
x
array([[[ 0.85754025, -0.28172407],
[ 0.23733268, 0.87116374],
[-0.62887857, -1.36845296],
[-0.53553569, 1.01818603]],
[[-0.48036281, 0.30293107],
[-0.41027798, 0.87720648],
[-0.74450358, -0.60304887],
[-0.48493204, -1.9946126 ]],
[[ 0.19694871, 0.53144363],
[ 0.032769 , -1.362219 ],
[-0.03665392, 1.49506453],
[ 1.55785374, -0.96754543]]])
np.diag([1,2,3,4]) # 对角矩阵
array([[1, 0, 0, 0],
[0, 2, 0, 0],
[0, 0, 3, 0],
[0, 0, 0, 4]])
1.2 Prueba si los elementos correspondientes de las dos matrices están lo suficientemente cerca
import numpy as np
x=np.array([1,2,3,4.001,5])
y=np.array([1,1.999,3,4.01,5.1])
print(np.allclose(x,y))
print(np.allclose(x,y,rtol=0.2))#设置相对误差
print(np.allclose(x,y,atol=0.2))#设置绝对参数
print(np.isclose(x,y))
print(np.isclose(x,y,atol=0.2))
False
True
True
[ True False True False False]
[ True True True True True]
1.3 Modificar el valor del elemento en la matriz
import numpy as np
x=np.arange(8)
x
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
np.append(x,8) # 返回新数组，在尾部追加一个元素
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
np.append(x,[9,10]) # 返回新数组，在尾部追加多个元素
array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10])
x # 不影响原来的数组
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
x[3]=8 # 使用下标的形式原地修改元素值
x # 原来的数组被修改了
array([0, 1, 2, 8, 4, 5, 6, 7])
np.insert(x,1,8) # 返回新数组，插入元素
array([0, 8, 1, 2, 8, 4, 5, 6, 7])
x=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
x[0,2]=4 # 修改第0行第2列的元素值
x[1:,1:]=1 # 切片，把行下标大于等于1
x
array([[1, 2, 4],
[4, 1, 1],
[7, 1, 1]])
x[1:,1:]=[1,2] # 同时修改多个元素值
x
array([[1, 2, 4],
[4, 1, 2],
[7, 1, 2]])
x[1:,1:]=[[1,2],[3,4]] # 同时修改多个元素值
x
array([[1, 2, 4],
[4, 1, 2],
[7, 3, 4]])
1.4 Operaciones sobre matrices y escalares
import numpy as np
x=np.array((1,2,3,4,5)) # 创建数组对象
x
array([1, 2, 3, 4, 5])
x*2 # 数组与数值相乘，返回新数组
array([ 2, 4, 6, 8, 10])
x/2 # 数组与数值相除
array([0.5, 1. , 1.5, 2. , 2.5])
x//2 # 数组与数值相除
array([0, 1, 1, 2, 2], dtype=int32)
x**3 # 幂运算
array([ 1, 8, 27, 64, 125], dtype=int32)
x+2 # 数组与数值相加
array([3, 4, 5, 6, 7])
x%3 # 余数
array([1, 2, 0, 1, 2], dtype=int32)
2**x # 分别计算2**1、2**2、2**3、2**4、2**5
array([ 2, 4, 8, 16, 32], dtype=int32)
2/x
array([2. , 1. , 0.66666667, 0.5 , 0.4 ])
63//x
array([63, 31, 21, 15, 12], dtype=int32)
1.5 Arreglos y Operaciones de Arreglos
np.array([1,2,3,4])+np.array([4,3,2,1]) # 等长数组相加，对应元素相加，返回信数组
array([5, 5, 5, 5])
np.array([1,2,3,4])+np.array([4]) # 数组中每个元素加4，数组不等长
array([5, 6, 7, 8])
a=np.array((1,2,3))
a + a # 等长数组之间的加法运算，对应元素相加
array([2, 4, 6])
a * a # 等长数组之间的乘法运算，对应元素相乘
array([1, 4, 9])
a - a # 等长数组之间的减法运算，对应元素相减
array([0, 0, 0])
a / a # 等长数组之间的除法运算，对应元素相除
array([1., 1., 1.])
a**a # 等长数组之间的幂运算，对应元素乘方
array([ 1, 4, 27], dtype=int32)
b=np.array(([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]))
c=a*b # 不同维度的数组与数组相乘
c # a中的每个元素乘以b中对应列的元素
# a中下标0的元素乘以b中列下标0的元素
# a中下标1的元素乘以b中列下标1的元素
# a中下标2的元素乘以b中列下标2的元素
array([[ 1, 4, 9],
[ 4, 10, 18],
[ 7, 16, 27]])
a+b # a中每个元素加b中的对应列元素
array([[ 2, 4, 6],
[ 5, 7, 9],
[ 8, 10, 12]])
1.6 Clasificación de matrices
import numpy as np
x=np.array([3,1,2])
np.argsort(x) # 返回升序排序后元素的原下标
# 原数组中下标1的元素最小
# 下标2的元素次之
# 下标0的元素最大
array([1, 2, 0], dtype=int64)
x[_] # 使用数组做下标，获取对应位置的元素
array([1, 2, 3])
x=np.array([3,1,2,4])
x.argmax(),x.argmin() # 最大值和最小值的下标
(3, 1)
np.argsort(x)
array([1, 2, 0, 3], dtype=int64)
x[_]
array([1, 2, 3, 4])
x.sort() # 原地排序
x
array([1, 2, 3, 4])
x=np.random.randint(1,10,(2,5))
x
array([[3, 2, 6, 9, 9],
[8, 5, 5, 1, 1]])
x.sort(axis=1)#横向排序
x
array([[2, 3, 6, 9, 9],
[1, 1, 5, 5, 8]])
1.7 Operación del producto interno de la matriz
x ⋅ y = ∑ yo = 1 nxiyix·y=\sum^n _{i=1}{x_iy_i}X ⋅y=yo = 1∑nXyoyyo
x=np.array((1,2,3))
y=np.array((4,5,6))
print(np.dot(x,y))#内积
print(x.dot(y))
print(sum(x*y))
32
32
32
1.8 Accediendo a elementos en una matriz
b=np.array(([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]))
b
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
b[0] # 第0行所有元素
array([1, 2, 3])
b[0][0] # 第0行第0列的元素
1
b[0,2] # 第0行第2列的元素，等价于b[0][2]的形式
3
b[[0,1]] # 第0行和第1行的所有元素，只指定行下标，不指定列下标，表示所有列
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
b[[0,2,1],[2,1,0]] # 第0行第2列、第2行第1列、第1行第0列的元素
# 第一个列表表示行下标，第二个列表表示列下标
array([3, 8, 4])
a=np.arange(10)
a
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
a[::-1] # 反向切片
array([9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
a[::2] # 隔一个取一个元素
array([0, 2, 4, 6, 8])
a[:5] # 前5个元素
array([0, 1, 2, 3, 4])
c=np.arange(25)
c
array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24])
c.shape=5,5 # 修改数组形状
c
array([[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 5, 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13, 14],
[15, 16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23, 24]])
c[0,2:5] # 第0行中下标[2,5)之间的元素值
array([2, 3, 4])
c[1] # 第0行中下标[2,5)之间的元素值
array([5, 6, 7, 8, 9])
c[2:5,2:5] # 行下标和列下标都介于[2,5)之间的元素值
array([[12, 13, 14],
[17, 18, 19],
[22, 23, 24]])
c[[1,3],[2,4]] # 第1行第2列的元素和第3行第4列的元素
array([ 7, 19])
c[[1,3],2:4] # 第1行和第3行的第2、3列
array([[ 7, 8],
[17, 18]])
c[:,3] # 第3列所有元素
array([ 3, 8, 13, 18, 23])
c[:, [2,4]] # 第2列和第4列所有元素，对行下标进行切片，冒号表示所有行
array([[ 2, 4],
[ 7, 9],
[12, 14],
[17, 19],
[22, 24]])
c[[1,3]] # 第1行和第3行所有元素
array([[ 5, 6, 7, 8, 9],
[15, 16, 17, 18, 19]])
c[[1,3]][:,[2,4]] # 第1、3行的2、4列元素
array([[ 7, 9],
[17, 19]])
1.9 Soporte de matrices para operaciones de funciones
x=np.arange(0,100,10,dtype=np.floating)
print(x)
print(np.sin(x)) # 一维数组中所有元素求正弦值
[ 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90.]
[ 0. -0.54402111 0.91294525 -0.98803162 0.74511316 -0.26237485
-0.30481062 0.77389068 -0.99388865 0.89399666]
C:\Users\soul学长\AppData\Local\Temp/ipykernel_6100/3916564714.py:1: DeprecationWarning: Converting `np.inexact` or `np.floating` to a dtype is deprecated. The current result is `float64` which is not strictly correct.
x=np.arange(0,100,10,dtype=np.floating)
x=np.array(([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]))
print(x)
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]
print(np.cos(x)) # 二维数组中所有元素求余弦值
[[ 0.54030231 -0.41614684 -0.9899925 ]
[-0.65364362 0.28366219 0.96017029]
[ 0.75390225 -0.14550003 -0.91113026]]
print(np.round(np.cos(x))) # 四舍五入
[[ 1. -0. -1.]
[-1. 0. 1.]
[ 1. -0. -1.]]
print(np.ceil(x/2)) #向上取整
[[1. 1. 2.]
[2. 3. 3.]
[4. 4. 5.]]
1.10 Cambiar la forma de una matriz
x=np.arange(1,11,1)
x
array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
x.shape # 查看数组的形状
(10,)
x.size # 数组中元素的数量
10
x.shape=2,5 # 改为2行5列
x
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9, 10]])
x.shape
(2, 5)
x.shape=5,-1 # -1表示自动计算
x
array([[ 1, 2],
[ 3, 4],
[ 5, 6],
[ 7, 8],
[ 9, 10]])
x=x.reshape(2,5) # reshape()方法返回新数组
x
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9, 10]])
x=np.array(range(5))
x.reshape((1,10)) # reshape()不能修改数组元素个数，出错
---------------------------------------------------------------------------
ValueError Traceback (most recent call last)
~\AppData\Local\Temp/ipykernel_6100/1914000034.py in <module>
----> 1 x.reshape((1,10)) # reshape()不能修改数组元素个数，出错
ValueError: cannot reshape array of size 5 into shape (1,10)
x.resize((1,10)) # reshape()不能修改数组元素个数，出错
x
array([[0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0]])
np.resize(x,(1,3)) # 使用numpy的resize()返回新数组
array([[0, 1, 2]])
x # 不对原数组进行任何修改
array([[0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0]])
1.11 Operaciones booleanas de matrices
x=np.random.rand(10) # 包含10个随机数的数组
x
array([0.23494488, 0.62911978, 0.08695988, 0.49816789, 0.78656564,
0.41347271, 0.09284217, 0.50007711, 0.37424032, 0.38977916])
x>0.5 # 比较数组中每个元素值是否大于0.5
array([False, True, False, False, True, False, False, True, False,
False])
x[x>0.5] # 获取数组中大于0.5的元素
array([0.62911978, 0.78656564, 0.50007711])
x<0.5 # 获取数组中大于0.5的元素
array([ True, False, True, True, False, True, True, False, True,
True])
sum((x>0.4)&(x<0.6)) # 值大于0.4且小于0.6的元素数量，True表示1，False表示0
3
np.all(x<1) # 测试是否全部元素都小于1
True
np.any(x>0.8) # 是否存在大于0.8的元素
False
a=np.array([1,2,3])
b=np.array([3,2,1])
a>b # 两个数组中对应位置上的元素比较
array([False, False, True])
a[a>b] # 数组a中大于b数组对应位置上元素的值
array([3])
a==b
array([False, True, False])
a[a==b]
array([2])
x=np.arange(1,10)
x
array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
x[(x%2==0)&(x>5)] # 大于5的偶数，两个数组进行布尔与运算
array([6, 8])
x[(x%2==0)&(x>5)] # 大于5的元素或者偶数元素，布尔或运算
array([6, 8])
1.12 Funciones por partes
x=np.random.randint(0,10,size=(1,10))
x
array([[7, 5, 6, 0, 8, 6, 3, 7, 6, 2]])
np.where(x<5,0,1)#小于5的元素值对应0，其他对应1
array([[1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]])
x.resize((2,5))
x
array([[7, 5, 6, 0, 8],
[6, 3, 7, 6, 2]])
# 小于4的元素乘以2，大于7的元素乘以3，其他元素变为0
np.piecewise(x,[x<3,x>7],[lambda x:x*2,lambda x:x*3])
array([[ 0, 0, 0, 0, 24],
[ 0, 0, 0, 0, 4]])
# 小于3的元素变为-1，大于3小于5的元素变为1，大于7的元素乘以4
# 条件没有覆盖到的其他元素变为0
np.piecewise(x,[x<3,(3<x)&(x<5),x>7],[-1,1,lambda x:x*4])
array([[ 0, 0, 0, -1, 32],
[ 0, 0, 0, 0, -1]])
1.13 Apilamiento y fusión de arreglos
arr1=np.array([1,2,3])
arr2=np.array([4,5,6])
np.hstack((arr1,arr2))#水平堆叠
array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
np.vstack((arr1,arr2))#垂直堆叠
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
arr3=np.array([[1],[2],[3]])
arr4=np.array([[4],[5],[6]])
arr3
array([[1],
[2],
[3]])
arr4
array([[4],
[5],
[6]])
np.hstack((arr3,arr4))
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
np.vstack((arr3,arr4))
array([[1],
[2],
[3],
[4],
[5],
[6]])
np.concatenate((arr1,arr2))
array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
np.concatenate((arr3,arr4))
array([[1],
[2],
[3],
[4],
[5],
[6]])
np.concatenate((arr3,arr4),axis=1)
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
2 Generación de matrices y operaciones comunes
2.1 Generación de matrices
x=np.matrix([[1,2,3],[4,5,6]])
y=np.matrix([1,2,3,4,5,6])
# x[1,1]返回行下标和列下标都为1的元素
# 注意，对于矩阵x来说，x[1,1]和x[1][1]的含义不一样
print(x,y,x[1,1],sep='\n\n')
[[1 2 3]
[4 5 6]]
[[1 2 3 4 5 6]]
5
2.2 Transposición de matriz
x=np.matrix([[1,2,3],[4,5,6]])
y=np.matrix([1,2,3,4,5,6])
print(x.T, y.T, sep='\n\n')
[[1 4]
[2 5]
[3 6]]
[[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]]
2.3 Ver características de la matriz
import numpy as np
x = np.matrix([[1,2,3], [4,5,6]])
print(x.mean(), end='\n====\n') # 所有元素平均值
print(x.mean(axis=0), end='\n====\n') # 纵向平均值
print(x.mean(axis=0).shape, end='\n====\n')
print(x.mean(axis=1), end='\n====\n') # 横向平均值
print(x.sum(), end='\n====\n') # 所有元素之和
print(x.max(axis=1), end='\n====\n') # 横向最大值
print(x.argmax(axis=1), end='\n====\n') # 横向最大值的下标
print(x.diagonal(), end='\n====\n') # 对角线元素
print(x.nonzero()) # 非0元素下标，分别返回行下标和列下标
3.5
====
[[2.5 3.5 4.5]]
====
(1, 3)
====
[[2.]
[5.]]
====
21
====
[[3]
[6]]
====
[[2]
[2]]
====
[[1 5]]
====
(array([0, 0, 0, 1, 1, 1], dtype=int64), array([0, 1, 2, 0, 1, 2], dtype=int64))
2.4 Multiplicación de matrices
x=np.matrix([[1,2,3],[4,5,6]])
y=np.matrix([[1,2],[3,4],[5,6]])
print(x*y)
[[22 28]
[49 64]]
x
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
y
matrix([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
2.5 Cálculo de la matriz del coeficiente de correlación
import numpy as np
print(np.corrcoef([1,2,3,4], [4,3,2,1])) #负相关，变化方向相反
print(np.corrcoef([1,2,3,4], [8,3,2,1])) #负相关，变化方向相反
print(np.corrcoef([1,2,3,4], [1,2,3,4])) #正相关，变化方向一致
print(np.corrcoef([1,2,3,4], [1,2,3,40])) #正相关，变化趋势接近
[[ 1. -1.]
[-1. 1.]]
[[ 1. -0.91350028]
[-0.91350028 1. ]]
[[1. 1.]
[1. 1.]]
[[1. 0.8010362]
[0.8010362 1. ]]
2.6 Calcular varianza, covarianza, desviación estándar
import numpy as np
print(np.cov([1,1,1,1,1])) # 方差
print(np.std([1,1,1,1,1])) # 标准差
x = [-2.1, -1, 4.3]
y = [3, 1.1, 0.12]
X = np.vstack((x,y)) # 垂直堆叠矩阵
print(X)
print(np.cov(X)) # 协方差
print(np.cov(x, y))
print(np.std(X)) # 标准差
print(np.std(X, axis=1))
print(np.cov(x)) # 方差
0.0
0.0
[[-2.1 -1. 4.3 ]
[ 3. 1.1 0.12]]
[[11.71 -4.286 ]
[-4.286 2.14413333]]
[[11.71 -4.286 ]
[-4.286 2.14413333]]
2.2071223094538484
[2.79404128 1.19558447]
11.709999999999999
3 Cálculo de valores propios y vectores propios
Para la matriz cuadrada A de n×n, si hay un escalar λ y un vector distinto de cero de n dimensiones x → \overrightarrow{x}X, tal que A x → \overrightarrow{x}X=λ x → \overrightarrow{x}Xse establece, entonces se dice que λ es un valor propio de la matriz cuadrada A, x → \overrightarrow{x}Xes el vector propio correspondiente a λ.
Hablando geométricamente, multiplicar una matriz por un vector es una transformación del vector de un sistema de coordenadas a otro. Durante el proceso de transformación, el vector sufre principalmente dos cambios, rotación y escala. Si la matriz se multiplica por un vector, el vector solo se escala y no se gira, entonces este vector es el vector propio de la matriz y la relación de escala es el valor propio. En otras palabras, el vector propio es uno de los ejes de coordenadas ideales después de rotar los datos, y el valor propio es la proyección o contribución en el eje de coordenadas. Cuanto mayor sea el valor propio, más importante será este eje de coordenadas para la expresión del vector original y mayor será la proyección del vector original en este eje de coordenadas. Todos los vectores propios de una matriz forman la base de esa matriz, que son los ejes en el nuevo sistema de coordenadas. Con los valores propios y los vectores propios, el vector se puede representar en otro sistema de coordenadas.
import numpy as np
A = np.array([[1,-3,3],[3,-5,3], [6,-6,4]])
e, v = np.linalg.eig(A) # 特征值与特征向量
print(e, v, sep='\n')
print(np.dot(A,v)) # 矩阵与特征向量的乘积
print(e*v) # 特征值与特征向量的乘积
print(np.isclose(np.dot(A,v), e*v)) # 验证二者是否相等
# 行列式|A-λE|的值应为0，det()是计算行列式的函数
print(np.linalg.det(A-np.eye(3,3)*e))
[ 4. -2. -2.]
[[-0.40824829 -0.81034214 0.1932607 ]
[-0.40824829 -0.31851537 -0.59038328]
[-0.81649658 0.49182677 -0.78364398]]
[[-1.63299316 1.62068428 -0.38652141]
[-1.63299316 0.63703074 1.18076655]
[-3.26598632 -0.98365355 1.56728796]]
[[-1.63299316 1.62068428 -0.38652141]
[-1.63299316 0.63703074 1.18076655]
[-3.26598632 -0.98365355 1.56728796]]
[[ True True True]
[ True True True]
[ True True True]]
3.197442310920445e-14
4 Calcular la matriz inversa
import numpy as np
x = np.matrix([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,0]])
y = np.linalg.inv(x)
print(y)
print(x*y) # 对角线元素为1，其他元素为0或近似为0
print(y*x)
[[-1.77777778 0.88888889 -0.11111111]
[ 1.55555556 -0.77777778 0.22222222]
[-0.11111111 0.22222222 -0.11111111]]
[[ 1.00000000e+00 1.66533454e-16 1.38777878e-17]
[-1.05471187e-15 1.00000000e+00 2.77555756e-17]
[ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
[[ 1.00000000e+00 -4.44089210e-16 0.00000000e+00]
[ 2.77555756e-16 1.00000000e+00 0.00000000e+00]
[ 6.93889390e-17 1.11022302e-16 1.00000000e+00]]
5 Sistemas de Resolución de Ecuaciones Lineales
import numpy as np
a = np.array([[3,1], [1,2]]) # 系数矩阵
b = np.array([9,8]) # 系数矩阵
x = np.linalg.solve(a, b) # 求解
print(x)
print(np.dot(a, x)) # 验证
print(np.linalg.lstsq(a, b)) # 最小二乘解
# 返回解、余项、a的秩、a的奇异值
[2. 3.]
[9. 8.]
(array([2., 3.]), array([], dtype=float64), 2, array([3.61803399, 1.38196601]))
C:\Users\soul学长\AppData\Local\Temp/ipykernel_6100/2768563426.py:8: FutureWarning: `rcond` parameter will change to the default of machine precision times ``max(M, N)`` where M and N are the input matrix dimensions.
To use the future default and silence this warning we advise to pass `rcond=None`, to keep using the old, explicitly pass `rcond=-1`.
print(np.linalg.lstsq(a, b)) # 最小二乘解
6 Cálculo de la norma de vectores y matrices
En álgebra lineal, un punto en un espacio n-dimensional, la longitud del vector se denomina módulo o norma bidimensional. Para un vector (x1, x2, x3, ...., xn), su módulo de longitud es la raíz cuadrada del producto interno del vector y él mismo, y la fórmula de cálculo es:
[Falló la transferencia de la imagen del enlace externo, el sitio de origen puede tener un mecanismo anti-leeching, se recomienda guardar la imagen y cargarla directamente (img-N5xQilnc-1684934726704) (C:\Users\soul senior\AppData\Roaming\Typora \typora-user-images \image-20230504225017086.png)]
La fórmula de cálculo del vector p-norma es (donde p es un número entero distinto de 0)
[Error en la transferencia de la imagen del enlace externo, el sitio de origen puede tener un mecanismo de enlace antirrobo, se recomienda guardar la imagen y cargarla directamente (img-C8tEvynX-1684934726706) (C:\Users\soul seniors\AppData\Roaming\ Typora\typora-user-images\image-20230504225028955.png)]
Para una matriz A de m×n, la norma comúnmente utilizada es la norma de Frobenius (también conocida como norma F), y su fórmula de cálculo es:
[La transferencia de la imagen del enlace externo falló, el sitio de origen puede tener un mecanismo anti-leeching, se recomienda guardar la imagen y cargarla directamente (img-HVSAtHB8-1684934726708) (C:\Users\soul senior\AppData\Roaming\Typora \typora-user-images \image-20230504225036293.png)]
La norma 2 de la matriz A es la raíz cuadrada del mayor valor propio del producto de la matriz transpuesta conjugada de la matriz A y A, y su fórmula de cálculo es:
[Falló la transferencia de la imagen del enlace externo, el sitio de origen puede tener un mecanismo anti-leeching, se recomienda guardar la imagen y cargarla directamente (img-c6KJmSIK-1684934726711) (C:\Users\soul senior\AppData\Roaming\Typora \typora-user-images \image-20230504225045638.png)]
x=np.matrix([[1,2],[3,-4]])
print(np.linalg.norm(x))
5.477225575051661
print(np.linalg.norm(x,-2))
1.9543950758485487
print(np.linalg.norm(x,-1))
4.0
print(np.linalg.norm([1,2,0,3,4,0],0))
4.0
print(np.linalg.norm([1,2,0,3,4],2))
5.477225575051661
7 Descomposición en valores singulares
a=np.matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
u,s,v=np.linalg.svd(a)
u
matrix([[-0.21483724, 0.88723069, 0.40824829],
[-0.52058739, 0.24964395, -0.81649658],
[-0.82633754, -0.38794278, 0.40824829]])
s
array([1.68481034e+01, 1.06836951e+00, 3.33475287e-16])
v
matrix([[-0.47967118, -0.57236779, -0.66506441],
[-0.77669099, -0.07568647, 0.62531805],
[-0.40824829, 0.81649658, -0.40824829]])
u*np.diag(s)*v
matrix([[1., 2., 3.],
[4., 5., 6.],
[7., 8., 9.]])
Vectorización de 8 funciones
mat=np.matrix([[1,2,3],[4,5,6]])
mat
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
import math
a = math.factorial(4)
print(a)
24
vecFactorial=np.vectorize(math.factorial)#函数向量化
vecFactorial(mat)
matrix([[ 1, 2, 6],
[ 24, 120, 720]])