1.1.3 Matrices - Cuadrado de x (Leetcode 69)

1. Tema

Enlace de Leetcode
Dado un número entero no negativo x, calcule y devuelva la raíz cuadrada aritmética de x.

Dado que el tipo de retorno es un número entero, solo se conserva la parte entera del resultado y se descarta la parte decimal.

Nota: No se permiten funciones exponenciales integradas ni operadores como pow(x, 0,5) o x ** 0,5.

Ejemplo 1:

Entrada: x = 4
Salida: 2
Ejemplo 2:

Entrada: x = 8
Salida: 2
Explicación: La raíz cuadrada aritmética de 8 es 2,82842…, como el tipo de retorno es un número entero, la parte decimal se redondeará.

pista:

0 <= x <= 2 ³¹ - 1

2. Idea

Dado que solo se mantiene la parte entera, ans es el mayor valor de k que satisface k ^{2 ≤ x}

Solución 1: encuentre la raíz cuadrada de la función logarítmica

[Nota: el valor devuelto es un número de punto flotante, lo que causará problemas de precisión]

Solución 2: búsqueda binaria k

Solución 3: método de iteración de Newton

1. Transformar el problema en resolver el punto cero de la función
   
2. La esencia del método iterativo de Newton es acercarse rápidamente a cero desde el valor inicial con la ayuda de la serie de Taylor.
   
3. Proceso de implementación
   
4. detalles de implementacion
   

3. Implementación del código

Solución 2: búsqueda binaria k

class Solution {
    
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
    
        int left = 0;
        int right = x;
        int ans = -1;

        while(left <= right){
    
    
            int middle = left + (right - left) / 2;
            if((long long)middle*middle <= x){
    
    
                ans = middle; // 满足条件的k， 最后更新得到ans
                left = middle + 1;
            }else{
    
    
                right = middle - 1;
            }
        }

        return ans;
    }

};

Análisis de Complejidad

• Complejidad del tiempo: $O\left(logx\right)$ es el número de veces necesario para la búsqueda binaria.
• Complejidad del espacio: $O\left(1\right)$

Solución 3: método de iteración de Newton

class Solution {
    
    
public:
    int mySqrt(int x) {
    
    
        if (x == 0) return 0;

        // 设置迭代初始值
        double x0 = x;
        double C = x;

        while(true){
    
    
            double x1 = 0.5 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)
            if(fabs(x1 - x0) < 1e-7) break;
            x0 = x1; // 更新点xi
        }

        return int(x0);

    }

};

Análisis de Complejidad

• Complejidad del tiempo: $O\left(logx\right)$ , este método es cuadráticamente convergente, más rápido que$la\; búsqueda\; binaria$$.$
• Complejidad del espacio: $O\left(1\right)$。

4. Resumen

1. Juicio de desbordamiento

(long long)middle*middle <= x

• Aquí el rango de valores de medio es 0 <= medio <= 2 ³¹ - 1, luego 0 <= medio * medio < 2 ⁶²
• Y el rango de valores de la variable int es 2 ³¹ <= medio <= 2 ³¹
• Debido a que el tipo de variable debe convertirse en largo

2. Conociendo la pendiente de la recta y un punto de la recta, la fórmula de expresión de la ecuación de la recta

3. abs() y fabs()

• abs() se usa principalmente para encontrar el valor absoluto de un número entero, en el archivo de encabezado "stdlib.h" (o).
• Y fabs() es principalmente para buscar el valor absoluto de tipo doble y flotante con requisitos de mayor precisión, en el archivo de encabezado <cmath>.
• Ambos se pueden usar cuando solo #include <cmath>.

4. Corregir la escritura idiomática de las matemáticas

 double x1 = 1/2 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)

Escrito de esta forma, se repetirá para siempre, ¡porque 1/2 aquí obtendrá 0!