배낭 문제: 재귀 구현 및 동적 프로그래밍 구현

문제 설명

n개의 항목이 주어지면 항목의 가중치는 w[i]이고 항목의 값은 v[i]입니다. 이제 배낭이 견딜 수 있는 최대 무게를 W라고 가정하고 배낭에 넣을 아이템을 선택합니다. 배낭에 있는 아이템의 총 가치가 최대가 되도록 배낭에 있는 아이템을 선택하는 방법은 무엇입니까?

오늘 수업시간에 01백팩은 2가지 상태로 물건을 넣고 안넣을 수 있다고 말씀드렸는데, 문득 재귀적인 방법으로 이 문제를 해결할 수 있을 것 같아 이 글을 쓰게 되었습니다. 일반적인 방법은 나중에 설명할 동적 프로그래밍입니다.

재귀 구현

아이디어 분석

첫 번째 사진

배낭 문제가 트리 그래프를 그릴 수 있는 이유는 무엇입니까? 걱정하지 마세요. 천천히 말하겠습니다.

그림의 각 노드는 상태를 나타내고 각 에지는 작업을 나타내며
각 노드의 왼쪽 하위 트리를 연결하는 가장자리는 1이고 오른쪽 하위 트리를 연결하는 가장자리는 0
입니다
. 배낭에 아이템을 넣었습니다.
두 개의 왼쪽 자식은 실제로 동일한 요소에 대해 다른 작업을 수행한 후 얻은 새로운 상태입니다.

나무의 특성은 나무의 자식이 여전히 나무라는 것입니다. 그런 다음 이것은 문제를 재귀적으로 구현할 수 있는 가능성을 제공합니다.

(1) 리프 노드가 없을 때(가중치 배열과 값 배열의 마지막 요소가 아직 배낭에 넣지 않은 경우) 이 함수를 재귀적으로 호출하여 다음 요소에 연산을 수행합니다. (2) 리프 노드를 만난
시점 (즉, 가중치 배열과 값 배열이 끝에 도달할 때) 재귀 종료를 만나고 언스택을 시작합니다.

암호

public class Bag {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        int[] weight = new int[]{
    
    16,15,15}; //重量
        int[] value = new int[]{
    
    45,25,25};  //价值
        int capacity = 30;                  //背包容量
        int max1 = maxValue(weight, value, 0, capacity, 0, true);
        int max2 = maxValue(weight, value, 0, capacity, 0, false);
        System.out.println(Math.max(max1, max2));
    }

    public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int i, int surplusCapacity,int nowValue, boolean isPutIn){
    
    
        if(i >= weight.length){
    
         //递归出口，越界时返回当前价值
            return nowValue;
        }
        //剩余容量大于当前物品的重量
        if( isPutIn && surplusCapacity >= weight[i]){
    
    
            nowValue += value[i];           //更新当前价值
            surplusCapacity -= weight[i];   //更新当前容量
        }
        int max1, max2;
        /*假如可以放入，假如的原因是不一定能放入*/
        max1 = maxValue(weight, value, i+1, surplusCapacity, nowValue, true);
        /*不想放入*/
        max2 = maxValue(weight, value, i+1, surplusCapacity, nowValue, false);
        return Math.max(max1,max2);
    }
}

동적 프로그래밍 구현

아이디어 분석

먼저 가중치가 w 1 , ... wi w_1,...w_i 인 첫 번째 i 항목(1 ≤ i ≤ n)에 의해 정의된 인스턴스를 고려해 보겠습니다.${승}_{},...{승}_{}$, 값은 각각 $V_{},...V_{}$, 배낭의 무게는 j(1 ≤ j ≤ W)입니다. dp(i, j)는 이 인스턴스에 대한 최적 솔루션의 항목의 총 값, 즉 용량 j의 배낭에 들어갈 수 있는 첫 번째 i 항목의 가장 가치 있는 하위 집합의 총 값이라고 합니다. 적재 용량이 j인 배낭에 넣을 수 있는 첫 번째 i개의 항목의 부분 집합은 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다: i번째 항목을 포함하는 부분 집합과 i번째 항목을 포함하지 않는 부분 집합

(1) i번째 항목을 포함하지 않는 부분 집합에서 최적 부분 집합의 값은 dp(i - 1,j)입니다. (2)
i번째 항목을 포함하는 부분 집합에서 (이는 다음을 충족해야 합니다. $제이-{승}_{}$≥ 0), 최적의 부분 집합은 j − wij - w_i 의 로드 용량으로 첫 번째 i - 1 항목에 배치할 수 있는 항목입니다.$제이-{승}_{}$의 배낭의 최적 부분집합. 이 최적 부분집합의 총 값은 $V_{}+dp(나는\_-1,제이-{승}_{})$。

状态转移方程如下：
$$dp(나는,\_j)=\{\begin{array}{ll}max\left\{dp\right(나는-1,j),V_{}+dp(나는\_-1,제이-{승}_{}\left)\right\},& \text{제이-승나≥0}\\ dp(나는\_-1,j)& \text{제이-승나<}\end{array}$$

암호

import static java.lang.Integer.max;

public class Bag {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        int result = maxValue(new int[]{
    
    16,15,15},new int[]{
    
    45,25,25},30);

        System.out.println(result);
    }
    public static int maxValue(int[] weight, int[] value,int capacity){
    
    
        int n = weight.length;         //物品个数
        int [][]dp = new int[n+1][capacity+1];
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i < n+1; i++){
    
    
            for(int j = 1; j < capacity+1; j++){
    
    
                if( j - weight[i-1] >= 0 ){
    
     //可以放得下当前物品
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],value[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]);
                }else{
    
    
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][capacity];
    }
}

배낭 문제의 동적 프로그래밍에는 여전히 많은 최적화가 있으며 여기에는 가장 기본적인 것만 기록합니다.
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