[Recorrido de Lingüística Algebraica] Aplicación del cálculo Lambda en Semántica Formal II

[Recorrido de Lingüística Algebraica] Aplicación del cálculo Lambda en Semántica Formal II

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Ahora empezamos a hablar de λ \lambdaConceptos básicos de$\lambda$$\lambda$ - cálculo y teoría de tipos$\lambda$ - operación;

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$\lambda$ -operación

$El$ cálculo de λ fue propuesto por primera vez por Church (1941) en (The Calculi of Lambda-Conversion. Princeton University), pero fue Montague (1970) quien lo hizo desempeñar un papel importante en el estudio de la semántica formal del lenguaje natural.

Sabemos que no existe una correspondencia biunívoca entre la estructura gramatical del lenguaje natural y la estructura lógica de primer orden, por la introducción anterior también sabemos que el principio de combinación es el requisito básico de la semántica formal, de lo contrario Es imposible realizar una investigación formal sobre semántica. Sin embargo, Montague Los antiguos semánticos generativos y otros semánticos no han podido encontrar un método adecuado para hacer que la semántica se ajuste al principio de combinación. Por lo tanto, aunque los métodos formales han logrado grandes logros en el estudio de la naturaleza gramática del lenguaje En términos de semántica, el progreso estuvo básicamente ausente. Este fenómeno continuó hasta Montague (1970). En este artículo, Montague propuso su propia teoría de tipos basada en el trabajo de Churuch, Tarski et al. Lógica intensional (lógica intensional tipada de Montague) , y pon $El\; cálculo\; de\; \lambda$ se aplica al análisis de varios problemas de combinación semántica. Se puede decir que en Montague,$Antes\; de\; que\; se\; introdujera\; el\; cálculo\; de\; \lambda$ en el estudio de la semántica del lenguaje natural, no había un campo bien conocido de semántica formal. Sin embargo,$La\; introducción\; del\; cálculo\; \lambda$ en los problemas del lenguaje natural ha provocado una revolución en la investigación de la semántica y sentó las bases para la formación y el desarrollo de la semántica formal. También se puede ver que el cálculo lambda juega un papel muy importante en la semántica formal. .

Lo siguiente introducirá λ \lambda en detalleVarios conceptos y pasos clave en$el\; cálculo\; de\; \lambda$$\lambda$ - abstracto($\lambda$ -abstracción) regla,$reducción\; de\; \lambda$ ($\lambda$ -reducción o$\lambda$ -contracción) y$\lambda$ -conversion (\lambda-conversion).Esto a su vez se divide en el simple$\lambda$ - cálculo y teoría de tipos$\lambda$ -operación.

λ \lambda en PC$\lambda$ -operación

Simple $\lambda$ - regla abstracta

Esencialmente, $\lambda$ - abstrae uno por$El\; operador\; \lambda$ genera un nuevo predicado complejo a partir de un predicado o fórmuladada.$\lambda$ -Reglas abstractas, la PC puede procesar las diversas frases mencionadas anteriormente. Por supuesto, algunas frases aquí necesitan$\lambda$ -Se pueden expresar reglas abstractas (es decir, reglas abstractas que utilizan la teoría de tipos).Simple$La$ abstracción de λ es la siguiente:

R9 : Si $Fi\in$ Forma y$v$ es una variable, entonces$\lambda v\left[\phi \right]\in$ Pre-1.
S9:$\Vert \lambda v\left[\phi \right]{\Vert }^{M,g}$ es el conjunto S,DDTodo en$D$$\Vert \phi {\Vert }^{M,gramo[d/v]}=1$ es el conjunto formado por d.

Aquí $\lambda v\left[\phi \right]$ también puede leerse como "la propiedad de ser una v tal que$\phi$ ”, lo que significa queφ \varphiLas propiedades de aquellos individuos para los cuales$\phi$$Cuando\; el\; alcance\; del\; operador\; \lambda$ es muy claro, [ ] también se puede omitir y registrar como$\lambda v\phi$ . En Church (1941), se registra como$\lambda v.f$ ;

Tenga en cuenta el λ \lambda aquí$El\; operador\; \lambda$ se aplica al individuo, y su restricción sobre la variable también es similar al cuantificador universal y al cuantificador existencial$El\; operador\; \lambda$ no puede restringir dos variables diferentes al mismo tiempo, pero debe reintroducir un nuevo$\lambda$ - operador, como$\lambda xPAGS(x,y)$ solo para$X$ está restringido, como querer$y$ también está restringido, entonces se debe introducir otro$\lambda$ - operador, como

$$\lambda y\left[\lambda x\right[PAGS(x,y)\left]\right]$$

Ejemplo : En todos los siguientes ejemplos, asumimos la asignación $g\left(y\right)=\text{John}$和解释$yo\left(b\right)=\text{proyecto de ley},yo\left(m\right)=\text{María}$ ;

i) $\Vert \lambda X\left[rtunorte\right(X\left)\right]{\Vert }^{M,gramo}=$ el conjunto de todos los individuos que tienen la acción de correr;
ii) $\Vert \lambda X\left[lyokmi\right(X,b\left)\right]{\Vert }^{M,gramo}=$ por todos como$\Vert segundo{\Vert }^{METRO,gramo\left[rex\right]}($即$I\left(b\right),$ a saber Bill$)$ individuos;
iii) $\Vert \lambda X\left[lyokmi\right(X,y\left)\right]{\Vert }^{M,gramo}=$ por todos como$\Vert y{\Vert }^{METRO,gramo\left[reX\right]}($即$g\left(y\right),$ es decir Juan$)$ individuos;
iv) $\Vert \lambda x[$ pescado$\left(X\right)\wedge megusta(x,\_\_b)]{\Vert }^{M,gramo}=$ Una colección de todos los peces que gustan de Bill;
v)significa paseos y charlas":$\lambda y\left[\right($ caminar$\left(y\right)\wedge talk\left(y\right)\left)\right]$ ;
**vi)** Expresar "Mary walks and talks" con los componentes correspondientes a la gramática superficial:

$$\lambda y\left[\right(caminarunk\left(y\right)\_\wedge \mathrm{hablar}\left(y\right)\left)\right]\left(m\right)\_\_\_$$

vii) significa CNP (sintagma nominal común) "hombre al que le gusta María", la estructura gramatical es la siguiente:

Reglas para combinar CNP y REL (cláusulas relativas): $\lambda y\left[{CNP}^{\prime }\right(y)\wedge {REL}^{\prime }(y\left)\right]$, traduce la estructura gramatical anterior a$Lambda$ -cálculo (de abajo hacia arriba):

$\lambda$ - reducción y$\lambda$ - transformación

$La\; reducción\; de\; \lambda$ se refiere a la sustitución de términos en el dominio por$\lambda$ - el argumento de la restricción del operador y elimina$Proceso\; de\; operador\; \lambda$ , que está relacionado con$\lambda$ abstrae el concepto correspondiente. Por ejemplo, de$\lambda v\left[\phi \right]\left(t\right)$ obtiene$\phi [t/v]$ es un$\lambda$ - proceso de reducción, es poner$t$ se sustituye enφ \varphiCadavv$libre\; en\; \phi$$v$ , y estos$v$ está sujeto a$\lambda$ - restricciones del operador Con$\lambda$ -Reduciendo podemos definir directamente$\lambda$ - transformación ($\lambda$ -conversión):

$$\lambda v\left[\phi \right]\left(t\right)\leftrightarrow \phi [t/v]$$

donde de izquierda a derecha es $\lambda$ - el proceso de reducción, y de derecha a izquierda es un$\lambda$ - proceso abstracto Tenga en cuenta que t debe reemplazarφ \varphiCadavv$en\; \phi$$v$ . Según$\lambda$ -transformación, tenemos:

$\lambda y\left[\right(caminarunk\left(y\right)\_\wedge \mathrm{hablar}\left(y\right)\left)\right]\left(m\right)\_\_\_\leftrightarrow \left(\mathrm{caminar}\right(m)\_\_\_\wedge \mathrm{hablar}(m)\_\_\_\_$

$\lambda y\left[\mathrm{hombre}\right(y)\_\_\wedge \lambda z[\mathrm{como}yokmi(z,m)\left]\right(y\left)\right]\leftrightarrow \lambda y\left[\mathrm{hombre}\right(y)\_\_\wedge megusta(y,\_\_m\left)\right]$

Además, el λ \lambda en el individuo dado aquí$\lambda$ - las expresiones son muy simples, para complejos$\lambda$ -expresión, sus reglas de cálculo son similares
, por ejemplo:

$$\begin{array}{l}\lambda X\left[\lambda y\right[\lambda z\left[\varphi \right(X,y,z\left)\right]\left]\right]\left(un\right)\left(b\right)\left(c\right)\\ \leftrightarrow \lambda y\left[\lambda z\right[\varphi (un,y,z)\left]\right]\left(b\right)\left(c\right)\\ \leftrightarrow \lambda z\left[\varphi \right(un,b,z\left)\right]\left(c\right)\\ \leftrightarrow \varphi (un,b,c\end{array}$$

Cabe señalar que $Las\; reducciones\; de\; \lambda$ se hacen secuencialmente de izquierda a derecha. Esto también muestra que "primero a través de$\lambda$ - el λ \lambdaabstracto$\lambda$ - la abstracción en el correspondiente$\lambda$ - es la última reducción en la reducción, la razón es que la primera$\lambda$ -La expresión abstracta debe ser la parte incrustada más profunda en toda la expresión lógica, y$\lambda$ - la reducción siempre es desde el exterior$\lambda$ - Procedimiento restringido (Referencia: Jiang Yan, Pan Haihua, 2005, p193) Esto es similar a la condición de trabajo de una pila en un autómata, es decir, "primero en entrar, primero en salir, último en entrar, último en salir".

Antes de presentar la Lógica Intensional (IL) de Montague, veamos algunas de sus principales diferencias con las PC:

i) IL tiene una estructura de tipos más rica
ii) Las expresiones que denotan funciones juegan un papel muy importante en IL Excepto para los tipos básicos $e$ y$Todos\; los\; tipos\; que\; no\; sean\; t$ son tipos funcionales (tipos funcionales), excepto$e$ y$Todas\; las\; expresiones\; que\; no\; sean\; t$ se refieren a funciones. Las funciones pueden realizar continuamente operaciones compuestas, es decir, las funciones pueden ser variables y valores de funciones de otras funciones. (Las funciones pueden servir como argumentos y como valores de otras funciones. En particular, todas las relaciones también se representan como funciones.)
iii)IL contiene la aplicación de funciones (aplicación funcional), o aplicación de argumento de función (aplicación de argumento de función). Habrá ejemplos específicos en las siguientes reglas. iv)
λ $\lambda$ - uso de expresiones$El$ operador λ se puede utilizar como una herramienta fundamental para construir representaciones que representan funciones
v)A diferencia de un mundo en PC (donde no hay distinción entre un mundo o un modelo), un modelo en IL contiene un conjunto de mundos posibles. los mundos se distinguen en Intensión y la extensión juegan un papel importante, y están estrechamente relacionados con el tipo de intensión.En particular, los mundos posibles juegan un papel importante para explicar la ambigüedad de los operadores modales y las referencias.vi) IL también incluye algún tipo de temporal estructura, que
seusa principalmente para explicar los tiempos en inglés, como el tiempo pasado (PAST) que se describe a continuación.

Tipos y Estructuras de Modelos

tipo:

Tipos primitivos : $mi,t$ ;
Tipo de función: si$a$ y$b$ es el tipo, entonces$<un,bes$ un tipo (es decir, una subclase de tipo$a$ para escribir$tipo\; de\; función\; de\; b$ ) Tenga en cuenta que en la literatura,$<un,b>$和$a\to b$ es un token de equivalencia
Tipo de connotación: si$a$ es un tipo, entonces$<s,aes$ un tipo (a de mundos posibles a tipo$el\; tipo\; de\; función\; de\; la\; expresión\; de\; a$ );

Estructura del modelo:

La estructura modelo de IL : $METRO=<D,W,\le ,I>$ .Cada modelo debe contener los siguientes cuatro componentes:

• Un dominio $D$ ;
• Set Mundos Posibles $W$ ;
• $\le :La\; relación\; por\; encima\; de\; W$ (también puede entenderse como una relación de tiempo);
• $I$ : Función de interpretación que asigna valores a todas las constantes

tipo $La\; expresión\; de\; a$ (relativa a$D,El\; conjunto\; de\; posibles\; indicaciones\; para\; W$ ) se puede definir recursivamente de la siguiente manera:

$D_{}=D$ ;
$D_{}=\{0,1\}$ ;
$D_{<un,b}=\{f|F:D_{}\to D_{}\}$ , es decir, todo de$D_{}$a $D_{}$funcion ffEl conjunto compuesto por$f$
$D_{<,un}=\{f|F:W\to D_{}\}$ , es decir, todo de$W$ a$D_{}$funcion ffel conjunto de$f\; ;$

La interpretación semántica de IL también utiliza la función de asignación ggEl conjunto G de$g$$GRAMO:\{gramo:$ argumento de cualquier tipo$\to$ Valor de dominio correspondiente$\}$ Nota: Toda expresión de IL tiene una intención, y la intención corresponde a$M$ y$g$ ; la extensión correspondiente (extensión) es relativa a$M,w$ y$g$ .

Expresiones atómicas, notación e interpretación

Las representaciones atómicas de IL son constantes y variables; cada tipo tiene un número infinito de constantes y variables. Montague introdujo un término que define las constantes y variables de un tipo dado, $c$ y$v$ , y etiquete el tipo y el índice a continuación. Sin embargo, en la práctica, las personas generalmente usan términos más memorables. La convención aquí es la siguiente:

Las constantes de IL están en negrita sin cursiva, y sus nombres generalmente se expresan a partir de las expresiones traducidas en inglés, tales como: man, like, etc. PC Los hábitos de uso son los mismos, las convenciones de tipo se marcan de la siguiente manera:

escriba e: $w,x,y,z$ y todos los tipos con superíndice o subíndice
Tipo$<mi,t>:pag\_Q$ ;
varios tipos de relación$<mi,<mi,t>>:R$ ;
Tipo de cuantificador generalizado:$La$ constante T se explica por la función explicativa$Explico$ que el argumento lo asigna$g$ explicado, como en la regla 1.

Reglas gramaticales y su interpretación semántica de teoría de modelos

La forma gramatical de IL es un conjunto de definiciones recursivo, es decir, para todos los tipos $a$ , el conjunto de "expresiones significativas de tipo a"$YO{\_}_{}$Es la forma gramatical de IL. La semántica es una explicación para cada regla gramatical; nota: aquí es lo mismo que $Al\; igual\; que\; PC$ , utiliza símbolos que no están en cursiva para el metalenguaje de constantes y variables. Las siguientes son las siete gramáticas específicas y las reglas semánticas correspondientes:

Reglas sintácticas y semánticas para expresiones atómicas

Regla gramatical.1 : Tipo aaCada constante y variable de$a$$YO{\_}_{}$in.semanticrules.1 : **(a)**if
α \alpha
$\alpha$ es una constante, entonces$\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g}=I\left(\alpha \right)\left(w\right).$
**(b)**Si$\alpha$ es una variable, entonces$\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g}=g\left(a\right)$ .

Nota : Las reglas semánticas recursivas darán la extensión de cada expresión bajo el modelo, mundo y asignación dados. Por ejemplo, para $\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g}$ se explican en$M$ ,$w$ yggBajo$g$$Valor\; semántico\; de\; \alpha$ (extensional), función de interpretación$A\; cada\; constante\; le$ asigno una intensión, es decir, una función de un mundo posible a una extensión; y aplico esta función expresando intensión a un mundo posible$En\; w$ , se obtiene la extensión correspondiente.

Reglas gramaticales.2 : (la aplicación de conectores lógicos y operadores en fórmulas, esto es similar a PC):

Si $f,\psi {METRO\_}_{}$, y $uEn$ el caso de un infinitesimal, como¬$\neg \phi ,fy\psi ,Fi\vee pd,Fi\to pd,Fi\leftrightarrow \psi$ (también escrito como$Fi\equiv \psi$ ),$\exists tu\phi ,\forall tu\phi ,\square \phi ,PASADO\_\_\_Fi\in {YO\_}_{}$;

Solución.2 :
a) $\neg \phi ,fy\psi ,Fi\vee pd,Fi\to pd,Fi\leftrightarrow \psi$ ,$\exists tu\phi ,\forall u\phi$ es lo mismo que el cálculo de predicados;
b)$\Vert \square \phi {\Vert }^{M,w,g}=1Si$ y solo si para todo$w^{\prime }\in W$ , tener$\Vert \phi {\Vert }^{M,w^{\prime },gramo}=1$ ;
c)$\Vert$ PASADO$\phi \Vert {\_}^{M,w,g}=1Si$ y solo si existe$w^{\prime }\le w$ hace$\Vert \phi {\Vert }^{M,w^{\prime },gramo}=1$ ;

Regla gramatical.3 : (=): si $un,b\in {YO\_}_{}$,那么$a=b\in {YO\_}_{}$;

Regla semántica.3 : $\Vert \alpha =\beta \Vert {\_}^{M,w,g}=1$ si y solo si$\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g}=\Vert \beta {\Vert }^{M,w,g}$ ;

Los siguientes dos pares de reglas, a saber, 4 y 5, son para los operadores "arriba" y "abajo". Son muy importantes para la comprensión de la connotación. Permítanme explicarlo brevemente, porque la distinción entre connotación y extensión no es va a ser discutido en profundidad aquí;

La regla de obtener la extensión de la connotación.

Regla gramatical.4 (operador “uр”): Si $a\in {YO\_}_{}$,那么$\left[{}^{\wedge \alpha }\right]\_\in {YO\_}_{<s,un}$
Regla semántica.4 : Error de análisis KaTeX : '}' esperado, obtuvo 'EOF' al final de la entrada: …pha]\|^{ { M,w,g} es de tipo $<s,a>$ una función$h$ tal que cualquier$w^{\prime }\in W$ ,有$h\left(w^{\prime }\right)=\Vert \alpha {\Vert }^{M,w^{\prime },g}$;

Reglas para derivar la intención de la denotación

Regla gramatical.5 (operador “abajo”): Si $a\in {YO\_}_{⟨s,un}$,那么$\left[{}^{\vee }a\right]\in {YO\_}_{}$;
Regla semántica.5 : $\Vert \left[{}^{\vee }\alpha \right]{\Vert }^{METRO,w,gramo}$ ∥$\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g}\left(w\right)$;

Aplicación de función-argumento

Regla gramatical.6 : Si $a\in {YO\_}_{<un,b}$且$b\in {YO\_}_{}$, entonces $un\left(b\right)\in {YO\_}_{}$
Regla semántica.6 : ∥ α ( β ) ∥ METRO , w , gramo = ∥ α ∥ METRO , w , gramo ( ∥ β ∥ METRO , w , gramo ) \|\alpha(\beta)\|^ { METRO }, w, g}=\|\alpha\|^{ {M}, w, g}(\|\beta\|^{ { M}, w, g})$\Vert un\left(segundo\right){\Vert }^{M,w,g}=\Vert \alpha {\Vert }^{METRO,w,gramo}(\Vert \beta {\Vert }^{M,w,g})$;

Reglas de abstracción lambda (abstracción lambda)

Regla gramatical.7 : Si $a\in {YO\_}_{}$Y $tu$ es de tipobbUna variable libre de$b$$\lambda tu\left[un\right]\in {YO\_}_{<b,un}$;
Regla semántica.7 : $\Vert \lambda tu\left[\alpha \right]{\Vert }^{M,w,g}$ son de tipo$b\to$una funciónff$de\; a$$f$ hace tipobbcualquier objetodd$de\; b$$re$ ,有$f\left(re\right)=\Vert \alpha {\Vert }^{M,w,g[d/u]}$ ;

Simple $\lambda$ - las reglas abstractas se aplican a los individuos. En comparación, aquí$\lambda$ - las reglas de abstracción se aplican a los tipos, y pueden ser tipos de complejidad arbitraria, lo que mejora enormemente el uso de$\lambda$ - La capacidad de los operadores para construir predicados complejos. De hecho, podemos ver que$La\; expresión\; \lambda$ es de alguna manera una función, como$\lambda v\left[\alpha \right]$ es una función cuya variable es$v,$ y su valor de función se pasa a través dev {v}α \alpharepresentado por el valor de$v$expresión$alfa\; ;$

Ejemplo: $\lambda x\left[X^2+1\right]$ significa la función$X\to X^2+1$ ;

Por ejemplo: Aplicación de argumento de función: $\lambda x\left[X^2+1\right]\left(5\right)=26$ ;

A diferencia de otros símbolos de funciones, $\lambda$ -expression da el nombre específico de la función, no solo un símbolo, como$f,g$ ;就$\lambda$ -transformación, las reglas son las mismas que la simpleλ \lambdaLas reglas del cálculo lambda son las mismas$;$

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referencias

[1] Chierchia, Gennaro y McConnell-Ginet, Sally, 2000. Significado y gramática: una introducción a la semántica. Cambridge: MIT Press. [2] La aplicación del cálculo lambda
en la semántica formal I. Fu Qingfang.
[3] Partee, Barbara H. $2007.$Semántica Formal y Problemas Actuales de la Semántica.