1.実験内容
測定誤差、製品品質指標など、生活における多くのパラメーターは正規分布にほぼ従うか、ほぼ従うため、一変量正規分布でベイズ推定を分析し、サンプルを分析するための対応する Matlab プログラムを作成することが可能です。ベイズ推定誤差への影響を確認し、ベイズ推定の妥当性を検証します。
2. 実験原理
1. 一変量正規分布を例としてベイズ推定の原理を理解します。X N ={X 1 ,X 2 ,…,X N }z を正規分布 N(μ, σ 2 )から取得したサンプルとします。設定。母集団分散 σ 2が既知であると仮定します。μ は推定量を持つ未知のランダム パラメーターであり、事前分布 N(μ 0 , σ 2 0 ) が存在します。推定量 μ を見つけるにはベイズ推定法を使用する必要があります。 ^ 、最終的なベイジアン リスク最小化を行います。
2. Matlab の関数を使用して、全体の分布密度が正規分布に従う一定数のサンプル データを生成します。
3. 一変量正規分布から得られるベイズ推定値計算式：μ^ = N*σ 2 mN/(N σ 2 0 +σ 2 )+σ 2 μ 0 /(N σ 2 0 +σ 2 )
4．上記の説明によって生成されたサンプルに基づいて、同じ正規分布に従うサンプル データ セットを追加し続け、ベイズ推定値とサンプル サイズの間の関係を調査します。
実験方法セットプログラム
1. p(μ) ~ N(2.8,0.6 2 ) としてデータを表示します。
>> u = 2.4;%总体分布概率的均值
>> sigma = 3.6;%总体分布概率的标准差
>> #假设某一样本：
>> u0 = 2.8;%未知参数分布的均值
>> sigma0 = 0.6;%未知参数分布的标准差
>> num=200;%样本个数
>> XN = normrnd(u,sigma,1,num);
>> mN = sun(XN)/num;%样本均值
未知のパラメータの分布:
2. ベイズ推定を使用して推定します:
>> 贝叶斯估计值
>> u1 = num*sigma0^2*mN/(num*sigma0^2+sigma^2)+sigma^2*u0/(num*sigma0^2+sigma^2);
>> 计算相对误差
>> abs(u1-u)/u*100
>ans =
19.25
u1 の値: 3。上記の 200 個のデータに基づいて、正規分布 N(2.8,0.6 2 ) に従うサンプル データ
を追加し続け、ベイズ推定値とサンプル サイズの関係を調査します。
for num =1:3000
u = 2.4;%总体分布概率的均值
sigma = 3.6;%总体分布概率的标准差
R = normrnd(u,sigma,1,1);%产生一个和前面样本分布一样的样本数据
sigma0 = 0.6;%未知参数分布的标准差
u0 = 2.8;%未知参数分布的均值
XN = [XN,R];%XN的前200个值为上个程序已经产生的样本数据
mN = sum(XN)/(num+100);
u1(num)=(num+100)*sigma0^2*mN/((num+100)*sigma0^2+sigma^2+sigma^2*u0/((num+100)*sigma0^2+sigma^2));
%画出相对误差
plot(abs(u1-u)/u);
xlabel("增大样本数");
ylabel('相对误差')
grid on;
hold on;
end
>> plot(u1);
>> xlabel("增大样本数");
>> ylabel('贝叶斯估计值');
実験結果と分析
1. 実験 1: ベイジアンの推定値は 19.25% であり、サンプル数が少ないため事前情報が不十分であり、実際の値との誤差が比較的大きいことがわかります。最終的な推定値は実際の値と比べて比較的大きく誤差が生じます。
2. 実験 2: ベイズ推定値は、サンプル数が少ないと真の値から大きく離れ、誤差が大きくなることがわかりますが、サンプル数が増加すると、まず減少傾向を示し、その後徐々に安定して真の値に近づきます。これは、ベイズ推定値の誤差サイズがサンプル サイズに関係していることを示しており、サンプル サイズが十分に大きい場合、ベイズ推定値と推定された真の値の間の誤差は妥当な範囲内に制御されます。