Método de Cálculo de Discretización para Sistema Continuo bajo Transformación Z Estándar

*Este artículo solo presenta el método de cálculo, no el principio de cálculo.

1. Forma de sistema continuo

Para un sistema continuo lineal estable, su forma general es
$$W\left(s\right)=\frac{b_{}{s}^{metro}+b_{metro-}{s}^{metro-1}+\cdots +b_{}s+b_{}}{a_{}{s}^{norte}+a_{n-}{s}^{norte-1}+\cdots +a_{}s+a_{}}\left(n,metro\in Z,norte\ge m\right)$$ Sea su polo$s=-{re}_{}\left(yo=1,\cdots ,n\right)$ , entonces la fórmula anterior se puede reducir a
$$W\left(s\right)=\sum _i\frac{C_{}}{s+d_{}}\text{\hspace{1em}( 1 )}$$ Entre ellos, el coeficiente$C_{}$Se puede calcular mediante el teorema del residuo:
$$C_{}=W\left(s\right)\left(s+d_{}\right){|}_{s=-{re}_{}}$$

2. Sustitución de polos

sistema continuo es $dominio\; s$ , el sistema discreto es$dominio\; z$ , existe sustitución de variables entre los dos. La sustitución de variables tiene la siguiente forma:
$$\frac{}{s+d_{}}\to \frac{}{1-z^{-1}{mi}^{-{re}_{}T}}\text{\hspace{1em}( 2 )}$$ donde$T$ es la unidad de tiempo de discretización (como 0,01 s).
Sustituyendo cada elemento de la fórmula (1) en la forma de la fórmula (2), la función de transferencia del sistema continuo$W\left(s\right)$ se transforma en su forma de sustitución de polos$W_{}\left(z\right)$。

3. Sistema discreto equivalente

Después de obtener la forma de sustitución de polos $W_{}\left(s\right)$ , el sistema continuo original W ( s ) W(s)se obtiene mediante la siguiente fórmulaEl sistema discreto equivalenteW ( z ) W(z)$de\; W$$($$s$$)$$W\left(z\right)$：
$$W\left(z\right)=\frac{\left|W\left(j\omega \right)\right|}{\left|W_{}\left({mi}^{j\omega T}\right)\right|}{W}_{}\left(z\right)\text{\hspace{1em}( 3 )}$$其中$\left|W\right(\cdot \left)\right|$指W ( ⋅ ) W(\cdot)Módulo de$W$$($$\cdot$$)$$T$ es la unidad de tiempo discretizada, y se toma el valor de acuerdo al problema real;$\omega$ 1.

4. Ejemplo de cálculo

Tomando como ejemplo la siguiente función de transferencia, calcule la función de transferencia de su sistema discreto equivalente. Intervalo de tiempo de discretización $T=0.01s$。
$$W\left(s\right)=\frac{s+}{s^2+12segundos+32}=\frac{s+}{(s+4)(s+8)}$$(1) Primero use el teorema del residuo para escribirlo en forma de fórmula (1).
$$\begin{gathered} C_{}=W\left(s\right)(s+4){|}_{s=-}=\frac{s+}{s+8}{|}_{s=-}=-\mathrm{0,75} \\ {C}_{}=W\left(s\right)(s+8){|}_{s=-}=\frac{s+}{s+4}{|}_{s=-}=1.75 \end{gathered}$$于是$$W\left(s\right)=\frac{C_{}}{s+d_{}}+\frac{C_{}}{s+d_{}}=\frac{-}{s+4}+\frac{}{s+8}$$
(2) Sustitución de polos. De acuerdo con la fórmula (2), la función de transferencia de la forma de sustitución de polos se puede obtener:
$$\begin{array}{rl}{W}_{}\left(z\right)& =\frac{C_{}}{1-z^{-1}{mi}^{-{re}_{}T}}+\frac{C_{}}{1-z^{-1}{mi}^{-{re}_{}T}}\\ & =\frac{-}{1-z^{-1}{mi}^{-4T\_}}+\frac{}{1-z^{-1}{mi}^{-8T}}{|}_{t=}\\ & =\frac{-}{1-z^{-1}{mi}^{-\mathrm{0,04}}}+\frac{}{1-z^{-1}{mi}^{-\mathrm{0,08}}}\\ & =\frac{-}{1-0.96079z^{-1}}+\frac{}{1-\mathrm{0,92312}{z}^{-1}}\\ & =\frac{1-0.98904z^{-}}{1-1.88391z{\_}^{-1}+0.88692z{\_}^{-2}}\\ & =\frac{z^2-0.98904}{z^2-1.88391z\_+0.88692}\end{array}$$
(3) Sistema discreto equivalente. Según la fórmula (3), es necesario calcular dos valores de módulo $\left|W\left(j\omega \right)\right|$和$\left|W_{}\left({mi}^{j\omega T}\right)\right|$。对于前者：
$$\begin{array}{rl}\left|W\left(j\omega \right)\right|& =|\frac{s+}{(s+4)(s+8)}{|}_{s=}\\ & =\frac{\sqrt{{Vaya}^2+1}}{\sqrt{{Vaya}^2+4^2}\sqrt{{Vaya}^2+8^2}}{|}_{\omega =}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}\sqrt{sesenta\; y\; cinco}}=\end{array}$$Para despues:
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\left|W_{}\left({mi}^{j\omega T}\right)\right|& =|\frac{z^2-0.98904}{z^2-1.88391z\_+0.88692}{|}_{z={mi}^{j\omega T}}\\ & =|\frac{{mi}^{2joT}-0.98904{mi}^{j\omega T}}{{mi}^{2joT}-1.88391e^{j\omega T\_}+0.88692}{|}_{t=\mathrm{0,01}, \\ \omega =}\\ & =\left|\frac{{mi}^{\mathrm{0,02}unidades}-0.98904{mi}^{\mathrm{0,01}}}{{mi}^{\mathrm{0,02}unidades}-1.88391e^{0.01j\_}+0.88692}\right|\\ & =\left|\frac{\left(\mathrm{porque}0.02+j\mathrm{pecado}0.02\right)-0.98904(\mathrm{porque}0.01+j\mathrm{pecado}0.01}{\left(\mathrm{porque}0.02+j\mathrm{pecado}0.02\right)-1.88391\left(\mathrm{porque}0.01+j\mathrm{pecado}0.01\right)+0.88692}\right|\\ & =\left|\frac{0.01081+\mathrm{0,01011}}{0.002904+0.0011599j\_}\right|\\ & =|4.40952+1.72018j\_|=\end{array} \end{gathered}$$代入(3)，即可得到离散系统的传函：
$$\begin{array}{rl}W\left(z\right)& =\frac{\left|W\left(j\omega \right)\right|}{\left|W_{}\left({mi}^{j\omega T}\right)\right|}{W}_{}\left(z\right)=\frac{}{4.73317}{W}_{}\left(z\right)\\ & =0.008988\frac{z^2-0.98904}{z^2-1.88391z\_+0.88692}\\ & =\frac{0.008988z^2-0.008889}{z^2-1.88391z\_+0.88692}\end{array}$$