Conceptos relacionados del proceso de Poisson

introducción

El proceso de Poisson es un proceso aleatorio relativamente simple en el que el evento es continuo y el estado es discreto. Los procesos de Poisson se utilizan ampliamente en física, geología, biología, medicina, astronomía, sistemas de servicios y teoría de la confiabilidad.

Definición y ejemplo del proceso de Poisson

Definición 1 (proceso de conteo) : Sea $N\left(t\right)$ significa hasta el tiempottEl número total de "evento A" que ha ocurrido hasta$t$$N\left(t\right)$ satisface las siguientes condiciones:
(1)$norte\left(t\right)\ge 0$
（2）$N\left(t\right)$ toma un entero positivo
(3) si$s<t$，则$norte\left(s\right)\le N\left(t\right)$
(4)$s<t$ , entonces$norte\left(t\right)-N\left(s\right)$ es igual al intervalo$(s,El\; número\; de\; "evento\; A"\; que\; ocurrió\; en\; t]$ se llama proceso aleatorio {N(t),$t\ge 0$ } es el proceso de conteo.

Si el proceso de conteo $N\left(t\right)$ En intervalos de tiempo que no se superponen, el número de ocurrencias del evento A es independiente entre sí, es decir, si$t_{}<t_{}\le t_{}<t_{}$, luego en $(t_{},t_{}]$ norte ( t 2 ) - norte ( t 1 ) N(t_{2}) - N(t_{1})$N\left(t_{}\right)-N\left(t_{}\right)$ y en$(t_{},t_{}]$ norte ( t 3 ) - norte ( t 4 ) N(t_{3}) - N(t_{4})$N\left(t_{}\right)-N\left(t_{}\right)$ son independientes entre sí, y el proceso de conteo esun proceso incremental independiente.

Si el proceso de conteo $N\left(t\right)$在$(t,s+t](s>0)$ , el número de ocurrencias del evento A es$N(t+s)-N\left(s\right)$ es solo con diferencia horaria$s$ está relacionado con$t$ es irrelevante, el proceso de conteo se llama$N\left(t\right)$ esun proceso incremental estacionario.

El proceso de Poisson es uno de los tipos más importantes de procesos de conteo y tiene dos definiciones, de la siguiente manera:

Definición 2.1 (proceso de Poisson) : proceso de diseño numérico {X(t), $t\ge 0$ } satisface las siguientes condiciones:
(1)$X\left(0\right)=0$；
（2）$X\left(t\right)$ es un proceso incremental independiente;
(3) en cualquier longitud$En\; el\; intervalo\; de\; t$ , el número de ocurrencias del evento A obedece al parámetro$t\_>0$ Distribución de Poisson, es decir, para cualquier$s,t\ge 0$，有
$PAG\left\{X\right(t+s)-X(s)=n\}={mi}^{-t\_\_}\frac{\left(t\right)\_{}^{}}{n!}$
Entonces se llama proceso de conteo {X(t), $t\ge 0$ } es con parámetro$yo>0$ Proceso de envenenamiento.

Definición 2.2 (proceso de Poisson) : proceso de diseño numérico {X(t), $t\ge 0$ } satisface las siguientes condiciones:
(1)$X\left(0\right)=0$；
（2）$X\left(t\right)$ es un proceso incremental estacionario independiente;
(3)$X\left(t\right)$ satisface las siguientes dos fórmulas:
$PAG\left\{X\right(t+h)-X(t)=1\}=\lambda h\_+o\left(h\right)$
$PAG\left\{X\right(t+h)-X(t)\ge 2\}=o\left(h\right)$
se llama el proceso de conteo {X(t),$t\ge 0$ } es con parámetro$yo>0$ Proceso de envenenamiento.

Nota: ¡El teorema 2.1 es equivalente al 2.2!

De la condición (3) de la definición 2.1, se puede ver que el proceso de Poisson es un proceso incremental estacionario y $mi\left[X\right(t\left)\right]=\lambda t$ .$\_$Dado que$yo=\frac{mi\left[x\right(t)}{t}$Indica el número promedio de eventos A que ocurren por unidad de tiempo, por lo que se llama $\lambda \; es$ la velocidad o intensidadde este proceso

Propiedades básicas de los procesos de Poisson

De acuerdo con la definición del proceso de Poisson, podemos derivar varias características numéricas de uso común del proceso de Poisson .
Sea {X(t), $t\ge 0$ } es un proceso de Poisson, para cualquier$s,t\in [0,\infty )$，且$s<t$，有
$E\left[X\right(t)-X(s\left)\right]=D\left[X\right(t)-X(s\left)\right]=\lambda (t-s)$
Dado que$X\left(0\right)=0$ , por lo quese espera:
${metro}_{}\left(t\right)=mi\left[X\right(t\left)\right]=E\left[X\right(t)-X(0\left)\right]=\lambda t$
方差：
${pag}_X^{}\left(t\right)=D\left[X\right(t\left)\right]=D\left[X\right(t)-X(0\left)\right]=\lambda t$
función de autocorrelación:
$R_{}(s,t)=mi\left[X\right(s\left)X\right(t\left)\right]=\lambda s(\lambda t+1)$
Función de covarianza:
$B_{}(s,t)=R_{}(s,t)-{metro}_{}\left(t\right){metro}_{}\left(s\right)=\lambda s$
En general, la función de covarianza de un proceso de Poisson se puede expresar como:
$B_{}(s,t)=\lambda metroyonorte(s,t)$ La función característica
del proceso de Poissonesgx ( u ) = E [ eiu X ( t ) ] = exp { λ t ( eiu − 1 ) } g_{x}(u)=E[e^{iuX(t ) }]=exp\{\lambda t(e^{iu}-1)\}
${gramo}_{}\left(tu\right)=y\left[{mi}^{youX\left(t\right)}\right]=miXpags\left\{\lambda t\right({mi}^{yotu}-1\left)\right\}$

Intervalo de tiempo y distribución del tiempo de espera: si usamos el proceso de Poisson para describir la cantidad de clientes que reciben servicios en el sistema de servicio, los problemas de distribución, como el intervalo de tiempo para que los clientes reciban servicios y el tiempo de espera de los clientes en línea, deben ser estudió. A continuación, discutiremos en detalle la distribución del proceso de Poisson en relación con las características del tiempo.

Teorema 3 : Sea {X(t), $t\ge 0$ } es el parámetroλ \lambdaDistribución de Poisson de$\lambda$$\{T_{}n\_\ge 0\}$ es la secuencia de intervalo de tiempo correspondiente, entonces la variable aleatoria$T_{}(norte=1,2,...)$ es independiente e idénticamente distribuida con media1 / λ 1 / \lambdaDistribución exponencial de$1$$/$$\lambda \; .$
Sufunción de distribuciónes:
$F_{T_{}}\left(t\right)=P\{T_{}\le t\}=\{\begin{array}{ll}1-{mi}^{-t\_}\_& t\ge 0,\\ 0& \text{t < 0}\end{array}$
Su función de densidad de probabilidad es:
$F_{T_{}}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\lambda e{\_}^{-t\_}\_& t\ge 0,\\ 0& \text{t < 0}\end{array}$

Teorema 4 : Sea $\{W_{}n\_\ge 1\}$ está relacionado con el proceso de Poisson {X(t),$t\ge 0$ } correspondiente a una secuencia de tiempo de espera, entonces$W_{}$El parámetro de obediencia es $n$与$\lambda$的$\Gamma equivalente$ , infinitesimal:F
$F_{W_{}}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\lambda e{\_}^{-t\_\_}\frac{(t\_{\_}^{norte-1}}{(norte-1)!},& t\ge 0,\\ 0& \text{t < 0}\end{array}$
La función de distribución es :
$F_{W_{}}\left(t\right)=PAGS\{W_{}\le t\}=P\{X_{}\ge n\}={\sum }_{j=norte}^{}{mi}^{-t\_\_}\frac{(t\_{\_}^j}{\left(j\right)!}$

El teorema 4 también se conoce como la distribución irlandesa, es $La\; densidad\; de\; probabilidad\; de\; la\; suma\; de\; n$ variables aleatorias independientes y distribuidas exponencialmente.

Distribución condicional del tiempo de llegada : suponga que en $[0,t]$ El evento A ha ocurrido una vez, queremos determinar que este evento alcance el evento$W_{}$Distribución. Debido a que el proceso de Poisson tiene incrementos independientes estacionarios, es razonable pensar que $[0,t]$ los intervalos de igual longitud que contienen este evento deben tener la misma probabilidad. En otras palabras, el evento de llegada de este evento debe ser en$[0,t]$ obedecen a la distribución uniforme. De hecho, para$s<t$有：
$PAGS\{W_{}\le s|X\left(t\right)=1\}=\frac{}{t}$
分布函数为：
FW n ( t ) = { 0 , s < 0 , s / t , 0 ≤ s < t , 1 , s ≥ t , F_{W_{n}}(t)= \begin{cases} 0 ，&s < 0,\\ s/t,& 0 \leq s < t,\\ 1，& s\geq t, \end{casos}FWn​( t )=⎩⎪⎨⎪⎧0 ,s / t ,1 ,s<0 ,0≤s<t ,s≥t ,
La densidad de distribución es:
$F_{W_{}}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1/t,& 0\le s<t,\\ 0& Otro\end{array}$

Proceso de Poisson no homogéneo

Definición 5 : Proceso numérico de diseño {X(t), $t\ge 0$ } satisface las siguientes condiciones:
(1)$X\left(0\right)=0$；
（2）$X\left(t\right)$ es un proceso incremental estacionario independiente;
(3)$X\left(t\right)$ satisface las dos fórmulas siguientes:
$PAG\left\{X\right(t+h)-X(t)=1\}=\lambda \left(t\right)h+o\left(h\right)$
$PAG\left\{X\right(t+h)-X(t)\ge 2\}=o\left(h\right)$
se llama el proceso de conteo {X(t),$t\ge 0$ } es una función de fuerza de saltoλ ( t ) \lambda (t)Proceso de Poisson no homogéneo de$\lambda$$($$t$$)\; .$Y la función media es:
${metro}_{}\left(t\right)={\int }_0^{}\lambda \left(s\right)res$

La distribución de probabilidad para un proceso de Poisson no homogéneo es la siguiente:

Teorema 6 : Sea {X(t), $t\ge 0$ } es una función media${metro}_{}\left(t\right)={\int }_0^{}\lambda \left(s\right)ds$ proceso de Poisson no homogéneo, entonces
$PAG\left\{X\right(t+s)-X(t)=n\}=\frac{\left[{metro}_{}\right(t+s)-{metro}_{}(t)}{n!}{mi}^{-\left[{metro}_{}\right(t+s)-{metro}_{}(t\left)\right]},norte\ge 0$
或
$PAGS\left\{X\right(t)=n\}=\frac{\left[{metro}_{}\right(t)}{n!}{mi}^{-\left[{metro}_{}\right(t\left)\right]},norte\ge 0$

proceso de Poisson compuesto

Definición 7 : Sea {N(t), $t\ge 0$ } es la fuerza deλ \lambdaProceso de Poisson de$\lambda$$\{Y_{},k=1,2,...\}$ es una columna de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, y está relacionada con$\left\{norte\right(t),t\ge 0\}$ independiente, sea
$X\left(t\right)={\sum }_{k=1}^{norte(t}{Y}_{},t\ge 0,$
se llama$\left\{X\right(t),t\ge 0\}$ es un proceso de Poisson compuesto.

Figura 8 : Sea $X\left(t\right)={\sum }_{k=1}^{norte(t}{Y}_{},t\ge 0,$ es un proceso de Poisson compuesto, entonces
(1)$\left\{X\right(t),t\ge 0\}$ es un proceso incremental independiente;
(2)$X\left(t\right)$ función independiente${gramo}_{x(t}\left(tu\right)={mi}^{\lambda t\left[{gramo}_{}\right(u)-1]}$ , donde${gramo}_{}\left(u\right)$ es una variable aleatoria$Y_{}$La función característica de ; $\lambda$ es la tasa de llegada de eventos.
(3) Si existe el segundo momento, entonces$mi\left[X\right(t\left)\right]=\lambda tmi\left[Y_{}\right],D\left[X\right(t\left)\right]=\lambda tmi\left[Y_1^{}\right]$