Programación dinámica
Problema de maleta-mochila
Hay una mochila con una capacidad de 4 libras, y los siguientes artículos están disponibles
artículo | peso | precio |
---|---|---|
Guitarra G | 1 | 1500 |
Sonido S | 4 | 3000 |
Computadora L | 3 | 2000 |
Requerido para lograr el valor objetivo del total de la carga máxima de la mochila, y el peso no excede la carga
requerida del artículo no se puede repetir
Introducción a la programación dinámica
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La idea central del algoritmo de programación dinámica es dividir el gran problema en pequeños problemas a resolver, para obtener la solución óptima paso a paso .
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El algoritmo de programación dinámica es similar al algoritmo divide y vencerás . Su idea básica es descomponer el problema a resolver en varios subproblemas, primero resolver los subproblemas y luego obtener el problema original a partir de las soluciones de estos. subproblemas.
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A diferencia del método divide y vencerás , que es adecuado para problemas resueltos mediante programación dinámica, los subproblemas obtenidos por descomposición a menudo no son independientes entre sí . ( Es decir, la solución de la siguiente sub-etapa se basa en la solución de la sub-etapa anterior , y se realizan más soluciones)
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La planificación dinámica se puede avanzar gradualmente completando el formulario para obtener la solución óptima.
Análisis de pensamiento
El problema de la mochila se refiere principalmente a una mochila con una capacidad determinada, una cantidad de artículos con cierto valor y peso, cómo elegir los artículos para poner en la mochila para maximizar el valor de los artículos. Entre ellos, se divide en 01 mochila y mochila completa (una mochila completa se refiere a : cada artículo tiene piezas ilimitadas disponibles)
La idea principal del algoritmo se resuelve mediante programación dinámica. Para el elemento i-ésimo que se atraviesa cada vez, determine si es necesario poner el elemento en la mochila de acuerdo con w [j y v [j . Es decir, para n elementos dados, sean v [i] yw [i] el valor y el peso del i-ésimo elemento, respectivamente, y C sea la capacidad de la mochila. Sea v [i] [j el valor máximo que se puede cargar en la mochila de capacidad j en los primeros i ítems. Luego tenemos el siguiente resultado:
v[i][0]=v[0][j]=0;//表示填入表的第一行和第一列是0
当w[i]> j时: v[i][j]=v[i-1][j]//当我们加入的新的商品容量大于当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略
当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
//当准备加入的新的商品下雨等于当前背包的容量时,
//v[i-1][j]就是上一个单元格的装入最大的值
//v[i]当前商品的价值
//v[i-1][j-w[i]]装入i-1个商品到剩余空间j-w[i]的最大值
Proceso de mochilero
artículo | 0 libras | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Guitarra G | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 1500G |
Sonido S | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 3000S |
Computadora L | 0 | 1500G | 1500G | 2000L | 3500G + L |
1. Si solo hay una guitarra , no importa cuán grande sea la mochila, solo puedes poner una guitarra
2. Si hay guitarras y equipos de sonido , solo se pueden colocar guitarras en el frente. Los equipos de sonido solo se pueden colocar cuando la capacidad de la mochila es de 4 libras.
. . . . . . . El resto es el mismo
Verifique nuestra fórmula anterior
v[1] [1] = 1500;
1.i=1,j=1
2.w[i] = w[1] =1
w[1]=1 j=1 当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
v[1][1] = max {
v[0][1],v[1]+v[0][1-1]} = max{
0,1500+0} = 1500
v[3][4]
i = 3,j = 4
w[i] = w[3] = 3 j=4
v[3][4] = max {
v[2][4],v[3]+v[2][1]} = max{
3000,2000+1500} = max{
3000,3500}=3500
Código
package 算法;
//动态规划 ---- 背包问题
public class dynamic {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] w = {
1,4,3};//物品重量
int[] val = {
1500,3000,2000};//对应的物品价格
int m = 4;//背包容量
int n = val.length;//物品个数
//为了记录放入商品的情况
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//创建二维数组
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//初始化表格第一行和第一列
for(int i=0;i < v.length;i++){
v[i][0] = 0;//将第一列 置为0
}
for(int i=0;i < v[0].length;i++){
v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
}
//根据前面得到的公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) {
//不处理第一行
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
//不处理第一列
//公式
if(w[i-1]>j){
//因为我们的i是从1开始的,因此原来的w[i]修改成w[i-1]
v[i][j] = v[i-1][j];
}else{
//因为我们的i是从1开始的,因此val[i]应该改成val[i-1]
//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要if-else来提现
if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
v[i][j] = val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
}else{
v[i][j] = v[i-1][j];
}
}
}
}
//输出下我们的表格 看看情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
//输出最后我们放入的那些商品
//遍历path 这样会把所有情况得到,我们只需要最后的情况
// for (int i = 0; i < path.length; i++) {
// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
// if(path[i][j]==1){
// System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
// }
// }
// }
int i = path.length-1; //行的最大下表
int j = path[0].length-1; //列的最大下表
while(i>0 && j>0){
//从后向前遍历
if(path[i][j] == 1){
System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
j-=w[i-1];
}
i--;
}
}
}
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
第3个商品放入背包
第1个商品放入背包