Algoritmo de programación dinámica ----- Introducción

Programación dinámica

Problema de maleta-mochila

Hay una mochila con una capacidad de 4 libras, y los siguientes artículos están disponibles

artículo	peso	precio
Guitarra G	1	1500
Sonido S	4	3000
Computadora L	3	2000

Requerido para lograr el valor objetivo del total de la carga máxima de la mochila, y el peso no excede la carga
requerida del artículo no se puede repetir

Introducción a la programación dinámica

1. La idea central del algoritmo de programación dinámica es dividir el gran problema en pequeños problemas a resolver, para obtener la solución óptima paso a paso .

2. El algoritmo de programación dinámica es similar al algoritmo divide y vencerás . Su idea básica es descomponer el problema a resolver en varios subproblemas, primero resolver los subproblemas y luego obtener el problema original a partir de las soluciones de estos. subproblemas.

3. A diferencia del método divide y vencerás , que es adecuado para problemas resueltos mediante programación dinámica, los subproblemas obtenidos por descomposición a menudo no son independientes entre sí . ( Es decir, la solución de la siguiente sub-etapa se basa en la solución de la sub-etapa anterior , y se realizan más soluciones)

4. La planificación dinámica se puede avanzar gradualmente completando el formulario para obtener la solución óptima.

Análisis de pensamiento

El problema de la mochila se refiere principalmente a una mochila con una capacidad determinada, una cantidad de artículos con cierto valor y peso, cómo elegir los artículos para poner en la mochila para maximizar el valor de los artículos. Entre ellos, se divide en 01 mochila y mochila completa (una mochila completa se refiere a : cada artículo tiene piezas ilimitadas disponibles)

La idea principal del algoritmo se resuelve mediante programación dinámica. Para el elemento i-ésimo que se atraviesa cada vez, determine si es necesario poner el elemento en la mochila de acuerdo con w [j y v [j . Es decir, para n elementos dados, sean v [i] yw [i] el valor y el peso del i-ésimo elemento, respectivamente, y C sea la capacidad de la mochila. Sea v [i] [j el valor máximo que se puede cargar en la mochila de capacidad j en los primeros i ítems. Luego tenemos el siguiente resultado:

v[i][0]=v[0][j]=0;//表示填入表的第一行和第一列是0
当w[i]> j时: v[i][j]=v[i-1][j]//当我们加入的新的商品容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
//当准备加入的新的商品下雨等于当前背包的容量时，
//v[i-1][j]就是上一个单元格的装入最大的值 
//v[i]当前商品的价值
//v[i-1][j-w[i]]装入i-1个商品到剩余空间j-w[i]的最大值

Proceso de mochilero

artículo	0 libras	1	2	3	4
	0	0	0	0	0
Guitarra G	0	1500G	1500G	1500G	1500G
Sonido S	0	1500G	1500G	1500G	3000S
Computadora L	0	1500G	1500G	2000L	3500G + L

1. Si solo hay una guitarra , no importa cuán grande sea la mochila, solo puedes poner una guitarra

2. Si hay guitarras y equipos de sonido , solo se pueden colocar guitarras en el frente. Los equipos de sonido solo se pueden colocar cuando la capacidad de la mochila es de 4 libras.

. . . . . . . El resto es el mismo

Verifique nuestra fórmula anterior

v[1] [1] = 1500;
1.i=1,j=1
2.w[i] = w[1] =1
w[1]=1  j=1   当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
v[1][1] = max {
    
    v[0][1],v[1]+v[0][1-1]} = max{
    
    0,1500+0} = 1500

v[3][4]
    i = 3,j = 4 
w[i] = w[3] = 3  j=4
v[3][4] = max {
    
    v[2][4],v[3]+v[2][1]} = max{
    
    3000,2000+1500} = max{
    
    3000,3500}=3500

Código

package 算法;
//动态规划   ----   背包问题
public class dynamic {
    
    

	public static void main(String[] args) {
    
    
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] w = {
    
    1,4,3};//物品重量
		int[] val = {
    
    1500,3000,2000};//对应的物品价格
		int m = 4;//背包容量
		int n = val.length;//物品个数
		
		//为了记录放入商品的情况
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
		
		//创建二维数组
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//初始化表格第一行和第一列
		for(int i=0;i < v.length;i++){
    
    
			v[i][0] = 0;//将第一列 置为0
		}
		for(int i=0;i < v[0].length;i++){
    
    
			v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
		}
		//根据前面得到的公式来动态规划处理
		for (int i = 1; i < v.length; i++) {
    
    //不处理第一行
			for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
    
    //不处理第一列
				//公式
				if(w[i-1]>j){
    
       //因为我们的i是从1开始的，因此原来的w[i]修改成w[i-1]
					v[i][j] = v[i-1][j];
				}else{
    
    
					//因为我们的i是从1开始的，因此val[i]应该改成val[i-1]
					//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要if-else来提现
					if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
    
    
						v[i][j] = val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
						//把当前的情况记录到path
						path[i][j] = 1;
					}else{
    
    
						v[i][j] = v[i-1][j];
					}
				}
			}
		}
		//输出下我们的表格  看看情况
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
    
    
			for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
    
    
				System.out.print(v[i][j]+" ");
			}
			System.out.println();
		}
		//输出最后我们放入的那些商品
		//遍历path		这样会把所有情况得到，我们只需要最后的情况
//		for (int i = 0; i < path.length; i++) {
    
    
//			for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
    
    
//				if(path[i][j]==1){
    
    
//					System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
//				}
//			}
//		}
		int i = path.length-1;			//行的最大下表
		int j = path[0].length-1;		//列的最大下表
		while(i>0 && j>0){
    
    //从后向前遍历
			if(path[i][j] == 1){
    
    
				System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
				j-=w[i-1];
			}
			i--;
		}

		
	}

}
0 0 0 0 0 
0 1500 1500 1500 1500 
0 1500 1500 1500 3000 
0 1500 1500 2000 3500 
第3个商品放入背包
第1个商品放入背包