Problema convexo
Conjunto convexo
En el espacio euclidiano, un conjunto convexo es para cada par de puntos del conjunto, y cada punto de la línea recta que conecta el par de puntos también está en el conjunto.
Por ejemplo, el cubo es un conjunto convexo, pero la media luna no lo es.
…… Pequeña expansión (saber sobre manipulación):
(El punto negro representa el conjunto original S, y la parte sombreada representa conv S (conjunto de casco convexo))
Función convexa
Una función convexa se define en un espacio vectorial del subconjunto convexo de la función de valor real f en C, y para dos vectores cualesquiera que proyectan el subconjunto C x1, x2, se cumple la siguiente condición:
(El dominio de t es (0,1))
De la fórmula anterior y la figura anterior, es fácil de deducir usando triángulos similares:
Entonces f se llama una función convexa en I. Cuando "≤" en la definición se reemplaza con "<", la función correspondiente f se puede llamar una función estrictamente convexa en el subconjunto o intervalo correspondiente.
Optimizacion convexa
La optimización convexa es un subcampo de optimización, que estudia la minimización de funciones convexas en conjuntos convexos. La rama de las matemáticas que se utiliza para estudiar las propiedades de los conjuntos convexos y las funciones convexas se denomina análisis convexo.
Excelentes características: el valor óptimo local en la optimización convexa debe ser el valor óptimo global.
Muchos problemas no convexos pueden transformarse de manera equivalente en problemas de optimización convexa o aproximarse como problemas de optimización convexa.
(Generalmente se utiliza en situaciones en las que no se puede encontrar la solución al problema original o la complejidad de tiempo necesaria para resolver el problema original es demasiado grande, como el problema dual de Lagrange)
Condición :
1. La función objetivo f debe ser una función convexa
2. La función de restricción de desigualdad g debe ser una función convexa, y el área compuesta por g <= 0 es un conjunto convexo
3. La función de restricción de igualdad debe ser afín (adicional: afín función, es decir La función polinomial con el grado más alto de 1. Una función afín con término constante cero se llama función lineal.
Explicación en profundidad de la función afín:
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Ideas de soluciones comunes:
Usando las excelentes características del problema de optimización convexa, encuentre una secuencia de puntos que haga que el valor de la función objetivo continúe disminuyendo hasta que la condición de parada se active o alcance un mínimo (crítico), como el gradiente de descenso y la dirección del paso (buscar dirección) opuesto (como producto interno) Negativo)