La primera lección: qué es la convolución, qué es la convolución, qué es la transformada de Fourier, qué es la transformada de Laplace
Introducción
Muchos de mis amigos, como yo, se especializaron en ingeniería y electrónica, aprendieron muchos cursos de señalización, pero no aprendieron nada, memorizaron la fórmula, tomaron el examen y luego se graduaron.
Permítanme comenzar con la pregunta de "cuál es el uso de la convolución". (Alguien se apresuró a responder, "Convolution" existe para aprender los siguientes capítulos del curso "Señales y sistemas". ¡Grité, lo arrastré y le disparé!)
contar una historia:
Zhang San acaba de postularse como tester para una empresa de productos electrónicos y nunca ha realizado el curso "Señal y sistema". Un día, obtuvo un producto. El desarrollador le dijo que el producto tiene una entrada y una salida. Una señal de entrada limitada sólo producirá una salida limitada.
Luego, el gerente le pidió a Zhang San que probara qué tipo de forma de onda genera el producto cuando se ingresa la señal sin (t) (t <1 segundo) (con un generador de señal). Zhang San lo hizo y tomó un diagrama de forma de onda.
"¡Muy bien!", Dijo el gerente. Luego, el gerente le dio a Zhang Sanyi una pila de papel A4: "Aquí hay miles de señales, todas las cuales se explican mediante fórmulas, y la duración de la señal de entrada también es definida. ¡Puede probar las siguientes formas de onda de salida de nuestros productos!"
Ahora Zhang San está aturdido y piensa "Dios, ayúdame, ¿cómo puedo dibujar estas formas de onda?"
Entonces apareció Dios: "Zhang San, solo necesitas hacer una prueba, puedes usar el método matemático para dibujar la forma de onda de salida correspondiente a todas las formas de onda de entrada".
Dios continuó diciendo: "¡Dale al producto una señal de pulso, la energía es de 1 joule, se dibuja la forma de onda de salida!"
Zhang San obedeció, "¿Entonces qué?"
Dios dijo de nuevo: "Para una determinada forma de onda de entrada, imagina que se diferencia en innumerables pulsos pequeños, entrada al producto, y el resultado de la superposición es la forma de onda de salida. Puedes imaginar estos pequeños pulsos alineados en tu producto Cada uno produce una pequeña salida. Cuando dibuja el diagrama de tiempo, la forma de onda de la señal de entrada parece ingresar al sistema al revés ".
Zhang San se dio cuenta: "¡Oh, el resultado de la salida se integrará! Gracias a Dios. ¿Cómo se llama este método?"
Dios dijo: "¡Llamado convolución!"
Desde entonces, el trabajo de Zhang San se ha vuelto mucho más fácil. Cada vez que el gerente le pide que pruebe los resultados de salida de algunas señales, ¡Zhang San solo necesita hacer cálculos en papel A4 para enviar la tarea!
Zhang San trabajó felizmente hasta que un día, su pacífica vida se rompió.
El gerente trajo un pequeño dispositivo electrónico, lo conectó al osciloscopio y le dijo a Zhang San: "¡Mira, la forma de onda generada por este pequeño dispositivo no se puede explicar con una función simple y envía señales continuamente! Pero Afortunadamente, esta señal continua se repite de vez en cuando. Zhang San, puede probar qué formas de onda de salida se producirán cuando se conecte a nuestro equipo ".
Zhang San hizo un gesto con la mano: "La señal de entrada es de duración infinita. ¿Tengo que probar la duración infinita para obtener una salida de forma de onda repetitiva y estable?"
El gerente estaba enojado: "¡De todos modos, puede manejarlo por mí, de lo contrario, lo despedirán!"
Zhang Sanxin pensó: "Esta vez se da la señal de entrada, incluso la fórmula, una forma de onda muy caótica; el tiempo es infinito y la convolución no funciona, ¿qué debo hacer?"
Con el tiempo, Dios apareció de nuevo: "Mapee la señal caótica del dominio del tiempo con otro dominio matemático y luego vuelva a mapearla después de completar el cálculo".
"Cada átomo del universo está girando y oscilando. Puede pensar en la señal de tiempo como el efecto superpuesto de varias oscilaciones, es decir, varias cosas determinables con características de frecuencia fija".
"Te doy una función matemática f. La señal de entrada con dominio de tiempo infinito está limitada en el dominio f. La señal de entrada con forma de onda caótica en el dominio de tiempo es clara y fácil de ver en el dominio f. Entonces puedes calcularla".
"Al mismo tiempo, la convolución en el dominio del tiempo es una relación de multiplicación simple en el dominio f. Puedo demostrártelo".
"Después de calcular el programa finito, tome f (-1) y conviértalo en sentido inverso en el dominio del tiempo, obtendrá una forma de onda de salida, ¡y el resto son sus cálculos matemáticos!"
Zhang San agradeció a Dios y mantuvo su trabajo. Más tarde se enteró de que la transformada del dominio f tiene un nombre, llamado Fourier, que ...
Más tarde, la empresa desarrolló un nuevo producto electrónico, la señal de salida es de duración ilimitada. Esta vez, Zhang San comenzó a aprender Laplace ...
posdata:
No es que no hayamos aprendido bien, sino porque los materiales didácticos no eran buenos y la enseñanza del profesor no era buena.
Aprecio las preguntas de la entrevista de Google: use 3 oraciones para explicar claramente cómo es una base de datos como una anciana. Este tipo de proposición es muy buena, porque sin una comprensión profunda de una proposición, sin pensar detenidamente en la filosofía de diseño de una cosa, estaremos atrapados en el lodazal de los detalles: memorización de fórmulas, derivación matemática, integración, resolución de problemas; y sin tiempo para responder "por qué". Ser así ". Los profesores universitarios no pueden "leer los libros gruesos", no pueden decir la verdad filosófica, simplemente respaldan y recurren a ppt, hacen pruebas matemáticas aburridas y luego culpan a "la generación actual de estudiantes no es tan buena como la siguiente". ¿Tiene algún sentido?
La segunda lección, ¿qué es la frecuencia y qué es el sistema?
En este artículo, permítanme ampliar la transformada de Fourier F. Tenga en cuenta que el nombre F de la transformada de Fourier puede representar el concepto de frecuencia (frecuencia), y también puede incluir cualquier otro concepto, porque es solo un modelo conceptual construido para resolver problemas computacionales (por ejemplo, una señal de entrada infinitamente larga en el dominio del tiempo, cómo Obtenga la señal de salida). Vemos la transformada de Fourier como una función del lenguaje C, y el problema de salida de la señal como un problema de IO, y luego cualquier problema con x-> y que sea difícil de resolver puede ser x-> f (x) -> f-1 (x ) -> y para obtener.
1. ¿Qué es exactamente la frecuencia?
Una suposición básica: cualquier información tiene características de frecuencia, el nivel de sonido de la señal de audio, el espectro de luz, el período de oscilación electrónica, etc., abstraemos el concepto de vibración armónica, el nombre matemático se llama frecuencia. Imagina un átomo en el plano xy haciendo un movimiento circular uniforme con un radio de 1 alrededor del origen, e imagina el eje x como tiempo, entonces la proyección del movimiento circular en el eje y es una forma de onda sin (t). Creo que los estudiantes de secundaria pueden entender esto.
Entonces, los diferentes modelos de frecuencia corresponden en realidad a diferentes velocidades de movimiento circular. Cuanto más rápido sea el movimiento circular, más estrecha será la forma de onda de sin (t). Hay dos modos de escalado de frecuencia
(a) Las radios antiguas usan cinta magnética como medio musical. Cuando la tocamos rápido, sentimos que el sonido del canto se vuelve extraño y la melodía es alta. Eso se debe a que la velocidad del "movimiento circular" se duplica , La salida sin (t) de cada componente de sonido se convierte en sin (nt).
(b) La reproducción rápida o la reproducción completa en el CD / computadora siente que el cantante canta rápido o lento, y el tono no aumenta: debido a que el método de muestreo en el dominio del tiempo se usa durante la reproducción rápida, algunas formas de onda se descartan, pero la carga Por lo tanto, la forma de onda de salida de la información no cambiará de ancho; cuando está completamente cargada, sucede lo contrario, y la señal en el dominio del tiempo se puede llenar y alargar.
2. El resultado de la transformación F tiene una parte negativa / compleja ¿Tiene algún significado físico?
Explicación: La transformada F es una herramienta matemática y no tiene un significado físico directo La existencia de números negativos / números complejos es solo para completar los cálculos.
3. ¿Cuál es el tema básico del curso sobre señales y sistemas?
Para los estudiantes de comunicación y electrónica, en muchos casos nuestro trabajo es diseñar o la tecnología de capa física en el modelo OSI de siete capas, la complejidad de esta tecnología es que primero se deben establecer las características eléctricas del medio de transmisión, que suele ser diferente. Existen diferentes capacidades de procesamiento para señales en diferentes rangos de frecuencia. El cable Ethernet procesa las señales de banda base y la luz WAN transmite señales de modulación de alta frecuencia.Las comunicaciones móviles, 2G y 3G, respectivamente, requieren diferentes características de frecuencia portadora. Entonces, ¿estos medios (aire, cables, fibras ópticas, etc.) pueden obtener una entrada básicamente constante después de transmitir una cierta distancia para una cierta entrada de frecuencia? Entonces tenemos que establecer el modelo matemático correspondiente de la frecuencia del medio. Al mismo tiempo, conociendo las características de frecuencia del medio, ¿cómo diseñar la señal transmitida en él para alcanzar la tasa de transmisión máxima teórica? Este es el mundo al que nos lleva la clase de señal y sistema.
Por supuesto, la aplicación de señales y sistemas es más que eso, y está vinculada a la teoría de la información de Shannon. También se puede utilizar en el procesamiento de información (sonido, imagen), reconocimiento de patrones, control inteligente y otros campos. Si el curso profesional de informática es un modelo lógico de expresión de datos, entonces las señales y los sistemas construyen un modelo matemático de nivel inferior que representa un cierto significado físico. El conocimiento de la estructura de datos puede resolver la codificación y la corrección de errores de la información lógica, y el conocimiento de la señal puede ayudarnos a diseñar la portadora física del flujo de código (si la forma de onda de la señal recibida es caótica, entonces puedo juzgar si esto es 1 o 0 basado en qué ? La corrección de errores lógicos pierde su significado). En el campo del control industrial, la premisa de la aplicación de las computadoras son varias conversiones de digital a analógico, entonces, ¿cómo pueden las señales analógicas continuas (temperatura, resistencia, tamaño, presión, velocidad, etc.) generadas por diversos fenómenos físicos convertirse en señales digitales significativas mediante un dispositivo específico? En primer lugar, tenemos que diseñar un modelo de conversión matemático utilizable.
4. ¿Cómo diseñar el sistema?
El diseño de funciones del sistema físico (estados continuos o discretos) tiene entradas y salidas, y el procesamiento intermedio está relacionado con la realización física específica, que no es el enfoque de esta clase (¿diseño de circuitos electrónicos?). En el análisis final, las señales y los sistemas están diseñados para diseñar una función de sistema para necesidades específicas. La premisa de diseñar una función de sistema es expresar tanto la entrada como la salida con funciones (por ejemplo, sin (t)). El método de análisis consiste en descomponer una señal compleja en varias acumulaciones de señales simples. El proceso específico es mucho cálculo. Los cálculos específicos no son la idea central de este curso.
Entonces, ¿qué tipos de sistemas existen?
(a) Clasificados por función: modulación y demodulación (muestreo y reconstrucción de señales), superposición, filtrado, amplificador de potencia, ajuste de fase, sincronización de reloj de señal, bucle de fase de retroalimentación negativa y un sistema más complejo compuesto por varios subsistemas. --- Puedes dibujar un diagrama de flujo del sistema, ¿está muy cerca del diagrama de flujo lógico de escribir un programa? De hecho, no hay diferencia en el espacio de los símbolos. También existe el procesamiento de señales digitales de estado discreto (curso de seguimiento).
(b) Dividido por categoría de sistema, sistema sin estado, máquina de estados finitos, sistema lineal, etc. La función del sistema continuo de la capa física es un sistema lineal complejo.
5. ¿El mejor libro de texto?
El núcleo del sistema simbólico es la teoría de conjuntos, no el cálculo. Sin un sistema construido por la teoría de conjuntos, el cálculo utilizado para implementarlo no tiene sentido, ni siquiera sabes lo que quieres hacer después de un largo tiempo de cálculo. Uno de los mejores libros de texto para aprender señales y sistemas desde el punto de vista de una computadora es <>, el autor es EdwardA.LeeandPravinVaraiya de UCBerkeley ---- defínalo primero y luego impleméntelo, de acuerdo con los hábitos de pensamiento humano. Todo el texto de los libros de texto domésticos es una derivación matemática, pero se niegan a decir para qué están hechas estas derivaciones, para qué se utilizan, qué construir y qué prevenir; si no lo discuten desde la epistemología y la demanda, el texto completo no lo es. El grupo que salió del propósito giró el carro delante del caballo.
Lección 3 ¿Qué es el teorema de muestreo?
1. Por ejemplo, al realizar una llamada, la señal enviada por el teléfono es la modulación de amplitud de pulso PAM. Lo que se carga en la línea telefónica no es la voz, sino la secuencia de pulsos después de que la voz se convierte mediante la codificación de canal y la forma de onda de la voz se restaura en el extremo receptor. Entonces, para la señal de voz del hablante continuo, ¿cómo se puede convertir en una serie de pulsos para garantizar que básicamente no esté distorsionada y se pueda transmitir? Obviamente, lo que pensamos es muestrear. Cada tono de diálogo de milisegundos se muestrea para observar la amplitud de la señal eléctrica. Convertido a código de pulso, transmitido y regenerado en el extremo receptor de acuerdo con ciertas reglas.
Entonces, la pregunta es, ¿qué tan pequeño es M para muestrear cada M milisegundos? ¿Cómo se puede restaurar la forma de onda del habla en el extremo receptor?
Para la primera pregunta, consideramos que la señal de voz es una señal de tiempo-frecuencia (por lo que la correspondiente transformada F representa tiempo-frecuencia). La señal de voz se descompone en una serie de mezclas monótonas de diferentes frecuencias (la expansión en serie de interés compuesto de la función periódica, La función de intervalo no periódico se puede considerar como la expansión de la señal periódica después de la finalización, y el efecto es el mismo). Para el componente de señal de frecuencia más alta, si el método de muestreo puede garantizar la recuperación de este componente, también se pueden muestrear otros componentes de baja frecuencia Formas de preservar la información. Si la alta frecuencia de la voz humana está limitada a 3000 Hz, el componente de alta frecuencia se considera sin (3000t). Esta función sin necesita guardar información mediante muestreo. Puede verse como: durante un período, el pico se muestrea una vez y el valle se muestrea una vez, es decir, el muestreo La frecuencia es el doble del componente de frecuencia más alta (teorema de muestreo de Nyquist), podemos representar la señal analógica continua original sin pérdidas muestreando la señal. Estas dos señales se corresponden una a una y son equivalentes entre sí.
Para la segunda pregunta, en el extremo receptor, ¿cómo recuperar la señal continua simulada de la secuencia de pulsos (forma de onda de peine)? Primero, hemos confirmado que la secuencia de pulsos en el dominio de frecuencia ya contiene toda la información, pero la información original es solo Si existe por debajo de cierta frecuencia, ¿cómo hacerlo? Dejamos que la señal de pulso de entrada I pase a través de un dispositivo X, y la señal de salida sea la voz original O, entonces I ( ) X = O, donde ( ) significa convolución. Las características del dominio del tiempo no son fáciles de analizar, por lo que la relación de multiplicación en el dominio de la frecuencia F (I) * F (X) = F (O) es obvia. Siempre que F (X) sea un filtro de paso bajo ideal Es suficiente (es una caja dibujada en el dominio F), es una función en forma de campana en el dominio del tiempo (porque contiene la parte negativa del eje del tiempo, por lo que no existe en la práctica), para hacer tal dispositivo de procesamiento de señales, Podemos obtener un discurso original casi ideal a través de la secuencia de pulsos de entrada. En aplicaciones prácticas, nuestra frecuencia de muestreo suele ser un poco mayor que la frecuencia de Nyquist, 3k Hz para señales de voz, y el estándar de muestreo es 8k Hz.
2. Para dar otro ejemplo, para imágenes digitales, el teorema de muestreo corresponde a la resolución de la imagen: cuanto mayor sea la densidad de muestreo, mayor será la resolución de la imagen y más clara será. Si nuestra frecuencia de muestreo no es suficiente, la información tendrá un alias: hay una imagen en Internet, veo a Einstein con gafas y veo a Monroe cuando me quito los ojos, porque sin Ojos, la resolución no es suficiente (la frecuencia de muestreo es demasiado baja) y la distorsión del componente de alta frecuencia se mezcla con el componente de baja frecuencia, lo que crea una trampa visual. Aquí, el cambio F de la imagen corresponde a la frecuencia espacial.
Dicho esto, ¿no es bueno cargar la señal de voz original directamente en el canal? La señal analógica no tiene capacidad antiinterferente ni capacidad de corrección de errores. La señal muestreada tiene características digitales y un mejor rendimiento de transmisión.
¿Qué señal no se puede muestrear idealmente? Hay un salto en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia es infinito, como una señal de onda cuadrada. Si está representado por una señal muestreada con un ancho de banda limitado, es equivalente a una suma parcial de la serie de interés compuesto, y esta suma parcial tendrá una falla en el punto no dirigido cuando se restaure la señal original, que también se llama fenómeno de Gibbs.
3. ¿Por qué Fourier ideó tal serie? Esto se deriva de la idea básica de la filosofía y la ciencia occidentales: el método de análisis ortogonal. Por ejemplo, para estudiar una forma tridimensional, usamos tres ejes mutuamente ortogonales: x, y y z: la proyección de cualquier eje en el otro eje es 0. De esta manera, 3 vistas de un objeto pueden expresar completamente su forma. De manera similar, ¿cómo descomponer y analizar la señal? Utilice la suma infinita de componentes de funciones trigonométricas mutuamente ortogonales: esta es la contribución de Fourier.
Introducción Lección 4 Onda compleja de la transformada de Fourier
En un sentido amplio, "número plural" es un "concepto", no una existencia objetiva.
¿Qué es un "concepto"? ¿Cuántos aspectos tiene un papel? Dos, donde "rostro" es un concepto, una percepción subjetiva de la existencia objetiva, al igual que el concepto de "grande" y "pequeño", solo para personas La conciencia del ser tiene sentido y no tiene sentido para la propia existencia objetiva (Kant: Crítica de la razón pura). Gire los dos lados de la nota y conéctelos para formar un "círculo de Mobius" Solo queda una "cara" en la nota. Los conceptos son el procesamiento del mundo objetivo y las cosas reflejadas en la conciencia.
El concepto de número se extiende así: ¿Qué número x hace que x 2 = -1? El eje del número real obviamente no es bueno, (-1) * (- 1) = 1. Entonces, si hay un espacio abstracto que incluye tanto números reales en el mundo real como el imaginado x 2 = -1, entonces llamamos a este espacio imaginario el "dominio de números complejos". Entonces, el algoritmo de números reales es un caso especial del campo de números complejos. ¿Por qué 1 * (- 1) = - 1? El signo ± representa la dirección en el campo de números complejos. -1 es el comando "¡hacia atrás, gira!". Un 1 se convierte en -1 después de un movimiento circular de 180 grados. Aquí, El eje numérico lineal y la rotación del círculo se unifican en el espacio plural.
Por lo tanto, (-1) * (- 1) = 1 se puede interpretar como "girar hacia atrás" + "girar hacia atrás" = regresar al lugar original. Entonces, ¿cómo representa el campo de número complejo x 2 = -1? Muy simple, "girar a la izquierda" y "girar a la izquierda" dos veces equivale a "dar la vuelta". Dado que el campo de números reales de un solo eje (línea recta) no contiene tales elementos, el campo de números complejos debe estar representado por dos ejes de números ortogonales en el plano. Obviamente, podemos obtener una característica de la multiplicación de campos de números complejos, es decir, el valor absoluto del resultado es la multiplicación del valor absoluto de dos números complejos, el ángulo de rotación = la suma de los ángulos de rotación de los dos números complejos. Cuando estábamos en la escuela secundaria, aprendimos el teorema de Dimoffer. ¿Por qué existe tal propiedad de multiplicación? No es porque el campo de números complejos tenga tal propiedad de multiplicación (la propiedad determina el conocimiento), sino que la persona que inventó el campo de números complejos creó un campo de números tan complejos (el conocimiento determina la propiedad) en base a tal demanda. Un método de investigación idealista subjetivo. Para construir x 2 = -1, debemos considerar la multiplicación como un conjunto de dos elementos: producto y rotación de ángulo.
Debido a que las funciones trigonométricas pueden verse como una proyección de movimiento circular, en el dominio de los números complejos, las funciones trigonométricas y las operaciones de multiplicación (exponentes) están unificadas. Comenzamos con la expansión de la serie de Fourier del campo de números reales e inmediatamente obtenemos un campo de números complejos más simple, y la serie compleja de Fourier correspondiente al campo de números reales uno a uno. Debido a que el campo de números complejos tiene una forma simple, es conveniente estudiarlos. Aunque los números complejos no existen en la naturaleza, debido a la correspondencia uno a uno con la serie del campo de números reales, podemos obtener un resultado con significado físico haciendo un mapeo inverso.
Entonces, ¿cuál es el significado de la transformada de Fourier, esa fórmula de conversión incomprensible? Podemos observar su relación con la serie de Fourier en el dominio de los números complejos. Lo que es cálculo es diferenciar primero, luego integrar La serie de Fourier ha sido infinitamente diferenciada, correspondiente a la suma de innumerables componentes de frecuencia discretos de la señal de impacto. La transformada de Fourier sirve para resolver el problema de análisis de la señal no periódica. Imagine que esta señal no periódica también es una señal periódica: solo el período es infinito y los componentes de frecuencia son infinitamente pequeños (de lo contrario, el resultado de la integración es infinito). Luego vemos la serie de Fourier, el proceso de resolución de cada componente constante, el intervalo de integración es de T a infinito positivo o negativo. Y dado que la constante de cada componente de frecuencia es infinitamente pequeña, entonces cada componente se divide por f para obtener un número valorado, por lo que la transformada de Fourier de la función periódica corresponde a un montón de funciones de impulso. De la misma manera, cada componente de frecuencia está infinitamente cerca, porque f es muy pequeña y f, 2f y 3f en la serie están casi una al lado de la otra, y finalmente están muy juntas. Como la convolución, este nivel de espacio de frecuencia compleja La suma de números puede eventualmente convertirse en una integral: la serie de Fourier se convierte en la transformada de Fourier. Tenga en cuenta que hay un cambio conceptual: frecuencias discretas, cada frecuencia tiene un valor de "ponderación", mientras que en el dominio F continuo, el valor de ponderación de cada frecuencia es infinitesimal (área = 0) y solo hay un rango de frecuencia ". "Espectro" corresponde a una determinada integral de energía. Los puntos de frecuencia se convierten en las líneas del espectro.
Por tanto, la transformada de Fourier obtiene una función que suele ser una función continua, que puede dibujar una imagen en el dominio de la frecuencia compleja ?, ¿cuál es el signo raíz 2Pai ?, solo para asegurar que la señal permanezca sin cambios después de la transformación directa e inversa. Podemos dividir la transformación positiva por 2 y la transformación inversa por Pi, pase lo que pase. Lentamente, ¿por qué hay una parte de "número negativo", o esa oración, es que la dirección del eje numérico corresponde a la rotación del eje numérico complejo, o el componente de fase de la función trigonométrica, que es fácil de entender. ¿Cuál es la ventaja? Ignoramos la fase y solo estudiamos el factor de "amplitud" para ver las características de frecuencia en el dominio de frecuencia real.
Pasamos de número real (descomposición de función trigonométrica) -> número complejo (ey Pi) -> transformación de número complejo (F) -> transformación inversa de número complejo (F-1) -> número complejo (toma el componente de amplitud) -> número real, parece muy complicado, Pero esta herramienta permite resolver el problema del análisis de frecuencia que no se puede resolver solo en el dominio de los números reales. La relación entre los dos es: los componentes de amplitud de frecuencia en la serie de Fourier son a1-an, b1-bn, estos números discretos representan características de frecuencia y cada número es el resultado de la integración. El resultado de la transformada de Fourier es una función continua: para cada punto de valor a1-aN (N = infinito) en el dominio f, su valor es el resultado de la integración de la función original en el dominio del tiempo y una función trigonométrica (representada como un número complejo) ---- Esta solución es la misma que la representación de la serie. Pero es unificar las N expresiones integrales discretas en una expresión integral universal continua.
En el dominio de la frecuencia compleja, todo el mundo dice que no se puede dibujar, ¡pero déjame dibujarlo! Porque ninguna imagen puede mostrarse claramente. Utilizo chino puro para decir:
1. Dibuje un plano compuesto por ejes xey, y dibuje un círculo con el origen como centro (r = 1). Dibuja otra línea vertical: (ecuación en línea recta x = 2) y trátala como un deflector.
2. Imagina que hay un átomo, comenzando desde el punto (1,0), moviéndose en un movimiento circular uniforme en sentido antihorario a lo largo de este círculo. Imagine la luz solar desde la dirección compleja del eje x a la dirección positiva del eje x, entonces la proyección del movimiento atómico en el deflector (x = 2) es una vibración de sinergia simple.
3. Modifíquelo de nuevo, x = 2 corresponde no a un deflector, sino a la salida de papel de una impresora, entonces el proceso de movimiento atómico dibuja una curva sin (t) continua en el papel blanco.
¿Qué muestran los tres puntos anteriores? La función trigonométrica y el movimiento circular corresponden uno a uno. Si quiero la forma de sin (t + x) o cos (t), solo necesito cambiar la posición inicial del átomo: es decir, el vector de las coordenadas de primer orden, el radio permanece sin cambios y la fase cambia.
La forma de expansión del número real de la serie de Fourier, cada componente de frecuencia se expresa como AnCos (nt) + BnSin (nt), podemos probar que esta fórmula puede convertirse en sqr (An 2 + Bn 2) sin (nt + x) así La forma de función trigonométrica simple de, entonces: el par de valor real (An, Bn), corresponde a un punto en el plano bidimensional, y la fase x corresponde a la fase de este punto. Se establece la correspondencia uno a uno entre números reales y números complejos. Por lo tanto, la frecuencia de los números reales solo corresponde a una cierta frecuencia de números complejos. Podemos usar números complejos para estudiar convenientemente las operaciones de números reales: convertir operaciones trigonométricas en exponentes y operaciones de multiplicación y suma.
Sin embargo, la transformada F todavía es limitada (la expresión de la función de entrada debe cumplir con la condición Die-Heli, etc.). Para usar la idea de transformación de "dominio" para expresar una información de frecuencia "generalizada" de manera más amplia, inventamos Con la transformada de Laplace, su forma continua corresponde a la transformada F, y su forma discreta se convierte en Z transformada. ¿Señal discreta? Función periódica discreta de la serie F, el número de términos es limitado, función aperiódica discreta (sigue siendo función periódica discreta después de la extensión periódica), serie F discreta, número todavía limitado de términos. La transformada F discreta es fácil de entender: la señal continua pasa a través de un filtro de muestreo periódico, es decir, el dominio de la frecuencia se multiplica por un montón de pulsos. El muestreo en el dominio del tiempo corresponde a la extensión del período en el dominio de la frecuencia. Por qué A la inversa, es fácil de entender, la extensión del período en el dominio del tiempo corresponde a un montón de pulsos en el dominio de la frecuencia.
La diferencia entre los dos: FT [f (t)] = par de infinito negativo a infinito positivo [f (t) exp (-jwt)] integral LT [f (t)] = de cero a infinito positivo [f (t ) exp (-st)] integral (debido a aplicaciones prácticas, generalmente solo se realiza la transformada de Laplace unilateral, es decir, la integral comienza desde cero) Específicamente, en la transformada integral de Fourier, el factor multiplicado es exp (-jwt), donde, - jwt es obviamente un número imaginario puro; en la transformada de Laplace, el factor multiplicado es exp (-st), donde s es un número complejo: s = D + jw, jw es la parte imaginaria, que es equivalente a jwt en la transformada de Fourier, Y D es la parte real, como factor de atenuación, de modo que muchas funciones que no pueden ser transformadas de Fourier (como exp (at), a> 0) pueden transformarse en dominios.
La transformada Z, en términos simples, es la transformada de Laplace de una señal discreta (también llamada secuencia), que puede derivarse de la transformada de Laplace de una señal muestreada. ZT [f (n)] = Suma [f (n) Z ^ (- n)] desde el infinito negativo al infinito positivo para n. El significado físico del dominio Z: dado que el valor es discreto, no existe una relación necesaria entre el proceso de entrada y salida y el tiempo físico empleado (t solo es significativo para señales continuas), por lo que la investigación del dominio de la frecuencia se vuelve extremadamente simple. Consideramos la secuencia básica (1, -1,1, -1,1, -1) como la secuencia con la frecuencia digital más alta. Su frecuencia digital es 1Hz (frecuencia angular digital 2Pi), y otras frecuencias de secuencia digital son Es 1 Hz de N. El resultado de la descomposición de frecuencia es una colección de varios valores en la frecuencia angular de 0-2Pi, que también es un grupo de números discretos. Dado que el tiempo y la frecuencia son discretos, no es necesario escribir el factor de la función de impacto al realizar la transformación.
Transformada discreta de Fourier a transformada rápida de Fourier ---- Dado que el número de transformadas discretas de Fourier es O (N ^ 2), por lo que consideramos descomponer la secuencia discreta en dos o dos grupos para la transformada discreta de Fourier, la complejidad computacional de la transformada se reduce O (NlogN), y luego acumular el resultado del cálculo en O (N), lo que reduce en gran medida la complejidad computacional.
Déjame hablar sobre otro tema avanzado: wavelet. En aplicaciones de ingeniería reales, la mayoría de las transformadas mencionadas anteriormente han sido reemplazadas por transformadas wavelet.
¿Qué es wavelet? Permítanme hablar sobre qué es una onda: los componentes de la serie de Fourier, la función sin / cos es la onda, sin (t) / cos (t) ha sufrido un escalado de amplitud y un ajuste de frecuencia para convertirse en la suma de una serie de ondas , Converge uniformemente a la función original. Tenga en cuenta que la convergencia de la suma de la serie de Fourier es estricta para todo el eje numérico. Pero como dijimos antes, cuando realmente aplicamos FFT, solo necesitamos prestar atención a la transformada de Fourier de parte de la señal y luego encontrar una suma total. Luego, para la parte de la función, solo necesitamos asegurarnos de que se use como un ladrillo ". "Función de onda", en un intervalo determinado (usando la función de ventana para filtrar), es suficiente para cumplir con las definiciones que se pueden integrar y converger. Por lo tanto, el factor de "onda" de la transformada de Fourier no puede usar la función trigonométrica, sino usar una Una familia de funciones construida a partir de algunas funciones básicas, siempre que esta función básica cumpla las condiciones de convergencia y ortogonalidad. ¿Cómo construir una función tan básica? Después de agregar sin (t) con una ventana cuadrada, se asigna a un grupo de pulsos hash infinitos en el dominio de la frecuencia, por lo que las funciones trigonométricas ya no se pueden usar. Necesitamos obtener una familia de funciones con una buena convergencia en el dominio de la frecuencia, que pueda cubrir el extremo inferior del dominio de la frecuencia. Para decirlo un poco más, si se toma la transformada wavelet de la señal digital, la wavelet básica debe garantizar que la frecuencia angular digital sea el máximo de 2Pi. El método de usar wavelet para el análisis fuera del espectro no es encontrar todos los componentes de frecuencia como la serie de Fourier, ni mirar las características espectrales como la transformada de Fourier, sino hacer un filtrado para ver el valor pico de una cierta frecuencia angular digital Probablemente cuanto. Puede obtener una secuencia de números según las necesidades reales.
Usamos (0, f), (f, 2f), (2f, 4f) tal relación de multiplicación para investigar las características de frecuencia de la familia de funciones, luego la forma de onda de tiempo correspondiente es expansión múltiple (e incluye modulación, por lo que hay cambio de espectro ) Serie de familias de funciones. El dominio de la frecuencia es la función básica de la función de ventana y el dominio del tiempo es la función de campana. Por supuesto, otros tipos de ondículas, aunque el dominio de la frecuencia no es una función de ventana, todavía están disponibles: porque la transformación obtenida por la integral de ondículas es un valor, como el valor de energía total contenido en (0, f) y el valor contenido en (f, 2f) Valor energético total. Entonces, incluso si la segmentación en el dominio de la frecuencia no es rectangular sino con otros gráficos, tiene poco efecto en el resultado. Al mismo tiempo, el valor de este dominio de frecuencia, su densidad de resolución y la resolución temporal de la función de base de ondículas en el dominio del tiempo están en conflicto (dominio de tiempo estricto en el dominio de frecuencia, dominio de frecuencia en el dominio del tiempo estricto), por lo que el diseño está sujeto a la medición de Heisenberg La restricción del principio de inexactitud. La compresión Jpeg2000 es una ondícula: debido a que el tiempo y la frecuencia son todos locales, el resultado de la transformación es un punto numérico en lugar de un vector, por lo que la complejidad computacional se reduce de O (NlgN) de FFT a O (N), y el rendimiento es muy bueno.
Habiendo dicho tanto en chino, las ideas básicas se han expresado claramente. Por "conveniencia de la investigación", la expansión de la serie de Fourier del número real, la expansión de la serie de Fourier que creó el dominio del número complejo, la transformada de Fourier y la transformada de extracción , Y luego simplificado a la transformada Z para la situación discreta de frecuencia de tiempo, todos están conectados por una línea principal.