Geodésico es encontrar la distancia más corta entre dos puntos en la superficie de un objeto tridimensional. Las aplicaciones específicas de las líneas geodésicas son bastante amplias, como el diseño de vías navegables de aeronaves y barcos. En primer lugar, sabemos que el segmento de línea entre dos puntos en un plano bidimensional es el más corto, pero si cambia a tridimensional, esto no se puede lograr, porque no puede penetrar el objeto para encontrar la distancia más corta. Por lo tanto, tenemos que encontrar una manera de encontrar la distancia más corta en la superficie. Debido a que la superficie curva es un poco abstracta y hay muchos caminos que hacen que la gente se sienta difícil de manejar, parece difícil de encontrar.
En realidad, imagine una hoja de papel (asumiendo que su grosor es insignificante). Puede aplanarla para convertirla en un estado bidimensional absoluto o doblarla en diferentes formas para convertirla en un estado tridimensional. Si lo piensa de esta manera, las cosas se vuelven más simples. Suponiendo que su papel, independientemente del grosor, está en un estado plano y hay dos puntos en el papel en diferentes posiciones, puede encontrar fácilmente la distancia más corta entre los dos puntos. Luego, dobla el papel en diferentes formas. Aunque la superficie es diferente en este momento, la distancia más corta entre los dos puntos sigue siendo la línea original: porque el área de la superficie permanece igual sin importar cuán doblado esté.
Entonces, la clave para encontrar la línea geodésica es el paso de transformar la superficie en un plano. El término en cálculo se llama parametrización, así que no lo explicaré demasiado. Después de parametrizar la superficie en una superficie bidimensional, podemos obtener la derivada mediante cálculo y finalmente convertir la bidimensional de nuevo en tridimensional.
Expresión del lenguaje matemático
La ecuación geodésica
En una variedad Riemanniana M con tensor métrico g , la longitud L de una curva continuamente diferenciable γ: [ a , b ] → M está definida por
Otra forma equivalente de definir las geodésicas en una variedad de Riemann es definirlas como los mínimos de la siguiente acción o energía funcional
Las ecuaciones de Euler-Lagrange de movimiento para la E funcional se dan en coordenadas locales por
dónde
los símbolos de Christoffel de la métrica
son los símbolos de Christoffel de la métrica. Esta es la ecuación geodésica.
Expresión intuitiva geométrica
Paráfrasis
1.ADJ relacionado o relacionado con la geometría de superficies curvas 曲面 几何学 的 (Ver también geodésico, geodésico)
2.N la línea más corta entre dos puntos en una superficie curva o plana 短程 线 (También llamada línea geodésica)
La existencia de las infinitas geodésicas cerradas de una variedad Riemanniana compacta no simplemente conectada.
¿Existe algún problema con la existencia de un número infinito de líneas geodésicas cerradas en una variedad Riemanniana compacta no conectada individualmente?
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。
参考资料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/