Plural basics

We used to have learned, if you want the square root of a number, it must be to ensure that the square root of the number is a positive number, but in order to expand the number of domains, the introduction of a complex concept.
Predetermined \ (\ sqrt {-1} = I ^ 2 \) .

The form \ (z = x + iy \ ) number is a complex number, where \ (X \) and \ (Y \) is any real number, referred to as the complex \ (Z \) of the real and imaginary part.
In general, the size of the complex can not be compared, it can be said that two complex numbers are equal.

Addition and subtraction corresponding to the real and imaginary sum on the line.
Multiplication and division needs a little attention.
multiplication:
- \(z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\)
division:
- \ (\ frac {z_1} {Z_2} = \ frac {x_1 + y_1i} {x_2 + y_2i} = \ frac {(x_1 + y_1i) (x_2-y_2i)} {(x_2 + y_2i) (x_2-y_2i)} = \ frac {(x_1 + y_1i) (x_2-y_2i)} {x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2} \) .
- After the above multiply on the line, that you want to division denominator complex materialized.
Similarly plurality commutative, associative law, distributive law.

Any of a plurality of \ (z = x + y_i \ ) has a corresponding point on the two-dimensional plane \ ((X, Y) \) .
as the picture shows:
among them
- \(|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，表示这个向量的模或长度。
- \(\theta=arctan\frac{y}{x}\)表示向量所对应的幅角。
  - 特殊的，当\(z=0\)时，幅角不确定。
- 也可以知道\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)。
接着我们可以得到复数的另一种表示：
- \(z=x+yi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}\)。
- 即\(z=re^{i\theta}\).
- 其中\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)就是大名鼎鼎的欧拉\((Euler)\)公式。（\(e\)是自然对数）
值得注意的一点！！
- 我们说\(\theta\)表示复数\(z\)的幅角，但其实幅角的表示可以不唯一。
- 比如说我从\(\theta\)的位置正好逆时针旋转一圈后变成\(\theta+2\pi\)，他还是在那个位置，但是他不等于\(\theta\)。
- 所以说幅角可以表示为\(\theta+2k\pi\)，其中\(k\)取任意整数。
- 既然有很多个幅角，我们可以定义一个幅角主值，也就是我们最开始的那个\(\theta\)，不去加\(2k\pi\)。
- 但是比如说\(\frac{\pi}{2}\)(逆时针扫)，他同样可以用\(-\frac{3\pi}{2}\)(顺时针扫)来表示。
- 我们规定在\(x\)轴上方的用逆时针扫的角度，\(x\)轴下方用顺时针扫的角度。
- 仔细理解这点，后面对复数开根号需要用到。

设有两个复数\(z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}\)。
\(z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。
\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}*e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)。
所以可以得到以下两个定理：
- 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。
- 两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的幅角等于他们幅角的差。

首先引入一个公式：
- \((cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\).
- 这就是棣莫弗\((De\ Moivre)\)公式。
\(z^n\)就是\(n\)个\(z\)乘起来。
\(z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\)。

要求复数\(z\)的\(n\)次方根，实际上就是求解方程\(w^n=z\)，问\(w\)。
设\(z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\phi}\).
从而得到方程
- \(\rho ^n=r\).
- \(n\phi=\theta+2k\pi\).
解得：
- \(\rho=\sqrt[n]{r}\).
- \(\phi=\frac{\theta+2k\pi}{n}\).
所以\(w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{2k\pi}{n}+\theta)}\).
当\(k=0,1,2,...,n-1\)时，可以得到\(n\)个相异的根。
\(w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},w_1=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi}{n}},w_2=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+4\pi}{n}},...,w_{n-1}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}\).
为什么只有\(n\)个呢？因为\(k\)取别的整数的话，所得到的根就和上述的\(n\)个根重复了。
由复数的几何意义可知，最后这\(n\)个根就表示他们以原点为圆心，以\(\sqrt[n]{r}\)为半径在一个圆上均匀分布着。
就像这样：
这里表示有四个根，

蓝线的四个头。

来做个例题收尾吧
求\(\sqrt[4]{1+i}\).
\(\because1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\).
\(\therefore \sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}},k=0,1,2,3\).
有\(w_0=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{16}},w_1=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{16}},w_2=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{17\pi}{16}},w_3=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{25\pi}{16}}\).
这四个根表示以原点为圆心，以\(\sqrt[8]{2}\)为半径的圆内接正方形的四个顶点。