AVL trees are typically moderately balanced binary search tree, the balance factor is introduced for each index node definition, the absolute value of the balance of silver than 1, although the desired balance and compared with the restriction has been relaxed, but remained harsh conditions, this feature is also to maintain the dynamic adjustment.
A, splay trees
Locality
Locality: just access the data most likely to be accessed again soon, this phenomenon is not uncommon in information processing.
BST is an example of such
BST: node has just been visited, it is likely to be quickly accessed again, the next node to be visited, most likely to have visited nearby nodes just.
Using the locality, can more quickly?
List
The elements of access into the front of the list
More efficient BST top element access
The elements frequently accessed transferred to a position closer to the roots, that is to reduce the depth
Layer by layer stretch
Once access node v, it is transferred to a random root
Access 333
After the combination of several zigzag, and finally to the root, access to almost 333 only constant time
The rising node process is the process continuously extending from side to side
Climb step by step
Top-down, layer by layer single spin
V until eventually pushed to the roots
The worst case is inefficient
Double-stretch
The essence of the concept: drill up two , rather than one
Repeated visits three generations : g = parent (p), p = parent (v), v
According to their relative positions, by rotation of two layers such that v rises, it becomes (sub) root
zig-zag / zig zag
And AVL tree exactly equivalent ambidextrous
Layer by layer and extending indistinguishable
zig-zig / zag saw
Grandfather g to zig
Grandfather rotation
Father of rotation
Then rotate the new grandfather 005zig
Father 004zig rotation
Continuing with the above process
finally
Height of the tree becomes half of the original
Continued access to the lowest point, will continue to optimize adjustment
Height of the tree and cut in half
A folded path having the effect
Folding Effect: Once bad access node corresponding to the path length will then halved
The worst case will not continue to occur
Single trip stretching operation, assessed O (logn) time
achieve
zig-zig case
Search algorithm
伸展树的查找操作，与常规BST::search()不同，很可能会改变树的拓扑结构，不再属于静态操作
插入算法
直观方法：调用BST标准的插入算法，再将新节点伸展至根，其中，首先需要调用BST::search()
重写后的splay::search()已集成了splay()操作，查找（失败）之后，_hot即是根节点
首先调用重写之后的search接口，不失一般性，查找是失败的，记失败之前最终的节点为t，即此前所说的_hot
集成在search接口内部的splay操作，自然会将_hot推送到树根的位置
在逻辑上将t这棵树一分为二，比如将t与其右子树分离开
引入节点v，并将t及其后代作为左子树，原先从t分离出的右子树作为树的右子树重写接入树中、
删除算法
直观方法：调用BST标准的删除算法，再将_hot伸展至根
同样的，Splay::search()查找（成功）之后，目标节点即是树根
既然如此，何不随即就在树根附近完成目标节点的摘除
首先进行查找，对待删除的节点进行定位，定位成功v
紧随其后，集成在search接口内的伸展操作之后，待删除节点v被推送到树根
将该节点释放，从逻辑上，左右节点彼此分离
有很多方法重新合并它们，比如
在右子树中找到最小的节点，相对于左子树则是最大的
将原来的左子树作为左子树连接上去即可
二、B-树
严格讲，B-树并发BST，在物理上B-树的每个节点都可能包含多个分支，但逻辑上等价BST。
1.动机
高效I/O
越来越小的内存
事实上，系统存储容量的增长速度，远远小于问题规模的增长速度。
为什么不把内存做的更大？
物理上，存储器的容量越大/小，访问速度就越慢/快
高速缓存
事实1：不同容量的存储器，访问速度差异悬殊
为避免1次外存访问，宁愿访问内存10次、100次，甚至更多
多数存储系统，都是分级组织的---Caching
最常用的数据尽可能放在更高层、更小的存储器中，实在找不到，才向更低层、更大的存储器索取
在该系统中，相对于任何一个存储级别，如果希望向更低的存储级别写入，或反过来从更低的存储级别读入数据，都称为输入和输出，简称I/O。
对于更上层的存储级别而言，对更低层的访问都可以叫做外存访问。
应尽可能减少I/O
事实2：从磁盘中读写1B，与读写1KB几乎一样快
批量式访问：以页（page）或快（block）为单位，使用缓冲区 // <stdio.h>...
B-Tree
所谓m阶B-树，即m路平衡搜索树（m>=2）
外部节点的深度统一相等，等效于，所有叶节点的深度统一相等
B-Tree的外部节点是叶节点数值为空，其实并不存在的孩子
与通常的BST不同，B-Tree的高度是相对于外部节点，而非叶子节点而言的
内部节点各有
不超过m-1个关键码：
不超过m个分支：
以n表示节点中所含的关键码数，因此拥有n个关键码的节点对应于n+1个分支
内部节点的分支数n+1也不能太少，具体的
树根：2<=n+1
其余：
故亦称作
m=5，称作(3, 5)-树
m=6，称作(3, 6)-树
(2, 4)树
紧凑表示
BTNode
3.B-树：查找
B树中容纳的词条极多，甚至不能完全容纳在内存中，相对的只能放在速度更慢的外存之中
B树查找的诀窍在于只载入必须的节点，尽可能减少I/O操作
对于一棵处于活跃状态的B树而言，不妨假设根节点已经常驻于内存
假设需要查找特定的关键字key
首先会在常驻于内存的根节点进行查找
每个节点中的关键码都已经存成了一个向量，因此实施的无非是一个顺序查找，如果能在某个位置命中，查找随即以成功告终
查找失败于特定位置，在特定位置应该预先已经记录了引用，该引用将会指向B树中的下一层的某一个节点，可以沿着该引用找到下层的节点，并将其载入到内存之中
查找深入一层，代价是做了一次读入性的IO操作
既然已经搜索到这样一个节点，就可以断定，如果目标关键码的确存在这棵树中，就必然存在于这个节点所对应的子树中
继续在新载入的节点中进行查找，只需顺序查找
同样，如果查找以失败告终，此时，也会停止于某个位置，该位置预先记录了引用，可以据此找到B树的下一个节点
同样可以断定，如果目标关键码的确存在这棵B树中，就必然存在于这个节点所对应的子树中
因此，再次IO，将下层节点载入内存，在新载入的节点中做顺序查找
反复上述步骤，可能最终会到达叶节点
依然需要对目标关键码进行顺序查找，失败，会根据引用查找到下一层的节点，即外部节点
此时，会宣告查找以失败告终
当然，还有另一种情况，外部引用实际上指向的是相对而言更低层此的B树，借助外部节点可以将存放于不同级别上的B树串接起来，构成更大的B树
假设查找确实以失败告终
所谓B树查找不过是一系列在内存中顺序查找和一系列IO操作相间隔组成的操作序列
5阶B树，(3, 5)树
查找69，先查找内存中的根节点
将下层的节点读入内存
在其中进行顺序查找，找到69
实现
复杂度
最大树高
含N个关键码的m阶B-树，最大高度=
最小树高
分裂
设上溢节点中的关键码依次为k0,...,km-1
关键码ks上升一层，并分裂split：以所得的两个节点作为左、右孩子
再分裂
插入555
插入到紧邻556的左侧
顺利结束
插入444
插到435的右侧
发生上溢
修复上溢，以中位数关键码为界，一分为二
中位数关键码提升一层，纳入到父节点的适当位置
插入500
插入到482右侧
上溢
修复
仍上溢
再修复
再分裂
树长高了一层
5.B-树：删除
算法
旋转
删除249
发生下溢
左顾右盼，有兄弟有四个关键码，可以借出一个
先向父亲借268，右兄弟给父亲315用来填补
删除619
发生了下溢
左顾右盼，没有左兄弟，右兄弟没有足够的关键码
无法旋转，只能合并
从父节点中找到介于该节点和右兄弟的关键码，也就是703
取出下溢，作为粘合剂将该节点和右兄弟合并
但是父亲发生了下溢
在父亲处左顾右盼，没有右兄弟，而左兄弟处于下溢的临界状态，无法借出关键码
合并
从父节点也就是树根中，找到下溢节点和兄弟之间的关键码
根节点只有一个关键码528
将该关键码取出并下溢，作为粘合剂将下溢节点和兄弟结合起来
包含唯一节点的根节点成为空的，删除，用新的节点做根节点即可
B树高度降低了一层
三、红黑树
1.动机
这些结构每当经过一次动态操作，使得其中的逻辑结果发生变化后，会随机完全转入新的状态，同时将此前的状态完全遗忘，因此称作ephemeral structure
除了目标关键码，还要同时指定版本号ver
蛮力实现：每个版本独立保存，个版本入口自成一个搜索结构
空间上不可接受
利用相邻版本之间的关联性
O(1)重构
大量共享，少量更新：每个版本的新增复杂度，仅为O(logn)
为此，就树形结构的拓扑而言，相邻版本之间的差异不能超过O(1)
AVL树的删除操作不满足
需要一种BST：
红黑树是具有该特性的变种
由红、黑两类节点组成的BST // 亦可给边染色
（统一增设外部节点NULL，使之成为真二叉树）
(1)树根：必为黑色
(2)外部节点：均为黑色
(3)其余节点：若为红，则只能有黑孩子 // 红之子、之父必黑
(4)外部节点到根：途中黑节点数目相等 // 黑深度
lifting变换
变换之前
变换之后
(2, 4)树==红黑树
提升各红节点，使之于其（黑）父亲等高--于是每棵红黑树，都对应于一棵(2, 4)-树
将黑节点与其红孩子视作（关键码并合并为）超级节点...
无法四种组合，分别对应于4阶B-树的一类内部节点 //反过来呢？
接口
3.红黑树：插入
提升变换，所有指向红色节点的虚边收缩起来，从B树来看，局部的四个节点，合并为包含四个关键码的超级节点，对应于五个分支，非法的
红黑树中修复双红缺陷，不如说是在B树中修复上溢缺陷
b -> b' -> c' -> c
g左右至少有一个黑色的关键码，也可能有红色，导致双红缺陷，根据上述方法再进行解决，问题所发生的位置会逐渐上升
双红修正：复杂度
重构、染色均属常数时间的局部操作，故只需统计其总次数
修正算法流程图
4.红黑树：删除
如此，红黑树性质在全局得以恢复--删除完成 //zig-zag等类似
在对应的B树中，以上操作等效于...
复杂度
