basic concept
Random variables: There are several possible values of the variables
\ (P (A): \ ) event \ (A \) probability hair kind occurred
\ (E (X): \ ) random variable X expectations, \ (E ( X) = \ Sigma [P (
X = i) * i] \) alone attention immediately: event without affecting each other, the full-EMPTY \ (P (AB) = P (a) P (B) \) premise: \ ( a, B \) ; two random variables are independent
for a single event attention immediately, we have \ (E (AB) = E (a) E (B) \)
Common formula
(+ Geometric series summation formula limit method)
desired linearity: \ (E [X-+ the Y] = E [X-] + E [the Y] \)
Note that the above \ (X, Y \) They are random variables, not an event, for example, two dice and throw.
\ (\ Sigma_ {i = 0 } ^ n = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x ^ n} \) modification of the geometric series summation formula, which is
Prefix and skills
Prefix and skills are very important in a desired probability techniques
for discrete variables \ (X, P (X = K) = P (X <= K) -P (X <= K-1) \)
Example:
- There \ (n-\) random variables \ (X-[. 1 ... n-] \) , each random variables are from \ (1 ... S \) in the
random integer ⼀, seeking $ Max ([n 1 ...] X ) $ expectations
\(Sol:\)求最大值的期望，根据公式答案为\(\Sigma_{i=1}^{S}P[max=i]i\)
\(P[max=i]\)很难求，但我们可以用前缀和的思想预处理出\(P[max<=i-1]\)和\(P[max<=i]\)，相减即可。
\(P[max<=i]=(\frac{i}{S})^i\)
- 求证：概率为 \(p\) 的事件期望\(\frac{1}{p}\)次后发生
首先这个问题很显然，我们抛硬币的时候期望抛2次得到正面或者反面
用数学方法证明如下
\(Sol:\)使用反向前缀和，设成功次数为\(X\)，则\(E[X=i]=E[X>=i]-E[X>=i+1]=(P[X>=i]-P[X>=i+1])*i\)
容易得出\(P[x>=i]=(1-p)^{i-1}\)，因为第\(i\)次是有可能成功的
所以\(E[X=i]=[(1-p)^{i-1}-(1-p)^{i}]*i\)
我们展开发现
\(ans=(1-p)^0-(1-p)^1+2*(1-p)^1-2*(1-p)^3+3*(1-p)^3.......=\Sigma_{i=0}^{\infty}(1-p)^i\)
根据等比数列求和公式得到\(ans=\frac{1-(1-q)^{\infty}}{p}\)，又因为\(q\in(0,1)\)，所以\(ans=\frac{1}{p}\)
得证
概率为 \(p\) 的事件期望\(frac{1}{p}\)次后发生
这个结论非常重要，之后很有用
另外的小技巧
很多东西都可以看成随机变量或用随机变量表示
例如表达式\(exp>=0\)，\(exp=\Sigma_{i=1}^{+\infty}i<=exp\)，这个其实很显然,相当于你前面有多少个人再加\(1\)就是你的排名
拿球问题
1.箱子里有 n 个球 1…n，你要从里面拿 m 次球，拿了后放回，求取出的数字之和的期望
\(Sol:\) 每个球都有\(\frac{n}{m}\)的概率被取到，根据期望的线性性质，取出数字之和的期望等于取出数字的期望之，求出每个数字期望，相加即可。
2.箱子里有 n 个球 1…n，你要从里面拿 m 次球，拿了后不放回，求取出的数字之和的期望
\(Sol:\)这个问题相对难想,设\(E(S)\)为答案的期望，设\(E(Xi)\)为第\(i\)项贡献的期望
则\(E(S)=E(\Sigma_{i=1}^{n}Xi)=\Sigma_{i=1}^{n}E(Xi)\)
设\(E(Yi)\)表示\(i\)取出次数的期望，在这个题目中显然\(\in(0,1)\)
为什么要这么设计，因为这是解决拿球问题的通法
那么我们得到\(Xi=Yi*i\)，对两边取期望得到\(E(Xi)=E(Yi)*i\)
接下来是重点
期望有点类似平均值的思想，或者说将总和离散了，也就是说\(\Sigma Yi=m\)
那么又因为每个球都是独立平等的，所以每个\(Yi\)一定相等，即\(Yi=\frac{m}{n}\)
以上两句话是这类题的精髓
那么代回去得到\(E(S)=\Sigma_{i=1}{n}\frac{m}{n}*i\)，得到的结果和第一问一样，\(ans=\frac{m(n+1)}{2}\)
3.箱⼦⾥有 n 个球 1…n，你要从⾥⾯拿 m 次球，拿了后以p1 的概率放回，以 p2 的概率放回两个和这个相同的球，求取出的数字之和的期望
\(Sol:\)相信经过了前两问的铺垫，这一问思路已经显而易见了，和第二问完全一样，和这些概率没半点关系，当然你可能会问放回两个相同的球的话，一个球的\(Yi\)可能会增大，但别忘了，这类题的核心是每个球都是独立的平等的，其它球也有等概率放回两个，所以不管放回多少个，每个\(Yi\)还是相等的，平分\(m\)，然后只需要和第二问一样做就可以了，显然\(ans=\frac{m(n+1)}{2}\)