Google Chubby author Mike Burrows said there is only one consensus algorithm in this world, and that is Paxos, other algorithms are defective products.
Paxos algorithm has been around for nearly 30 years, and is widely recognized as one of the most efficient algorithm to solve the consistency problem in distributed scenarios, but the drawback is more difficult, more difficult to engineer.
Foreword
Paxos algorithm is used to solve the algorithm distributed system, how to agree on a certain value. It can obscure the extent of saying how important rival. About paxos algorithm currently we have very much, but most of them are half-hearted style of others, but few people able to put forward their own views. This paper attempts never the same angle to the interpretation of Paxos made simple thesis, not just the poor translation of the thesis, I hope even if not read the papers the students can understand.
Consistency
In order to achieve high availability cluster, the user's data often multiple backups, although multiple copies to avoid single points of failure, but it also introduces new challenges.
Given a set of server saves the user's balance, initially 100, the user is now submitted two orders, a consumer orders $ 10 an order is top-50. Errors and delays due to network and other reasons, resulting in part of the server received only the first order (the balance is updated to 90 yuan), part of the server received only second order (balance is updated $ 150), there are some two orders server both received (updated balance $ 140), these three could not agree on a final balance. This is the consistency problem.
Consistency proposed algorithm does not guarantee that all values are correct (which may be a security administrator's duties). We assume that all the submitted values are correct, the algorithm needs to choose which to make a decision in the end, and the result of the decision is informed of all participants.
Consensus algorithm does not guarantee that all nodes are exactly the same, but it can ensure that even a small portion of the node fails, can still provide external consistent service (the client no perception)
at the start of the official presentation challenges faced Paxos before, in order to facilitate the presentation, the first mention Paxos algorithm in three roles, later would be more frequently used:
Proposer: bill sponsors.
Acceptor: decision-makers, can approve the motion.
Learner: Learner final decision.
Our virtual a consistency problem scenario: There is a small green users now want to make changes to his last name information, then there are a number of different proposals being put forward, how to agree on the final result.
First, look at the following this simplest case: A1 Pa accepted the proposal of "Zhao", A2 and A3 Pb accepted the proposal of "money", then what should be the ultimate green small family name? 
The answer is simple: more than half of the bill is the final selected value. Small green should be named "money"! After submitting the motion, Pa and Pb as long as inquiries about little green surnames, can easily be found in the number of "money" more than half, so the bill will return Pb "success", Pa motion will return "failure."
P0. When the cluster, more than half of Acceptor received a bill, then we can say that this bill has been designated (Chosen).
P0 is already a complete consensus algorithm to ensure consistency P0 would resolve the problem. But poor P0 practicality, wants to be a motion to accept more than half of Acceptor is an extremely difficult thing!
Look at this situation the following: A1, A2, A3, respectively, accepted the "Zhao", "money", "Sun", the result is no proposal to form a majority, the bill will return all "failure." The greater the number of motion, the lower the probability that the motion was chosen, which is obviously not tolerated. 
To solve this problem, we must allow a more Acceptor accepts the motion, after receiving the bill can be covered off before an acceptable bill.
As shown below, A1 has accepted the "Zhao", A2 has accepted "money", this time Pc proposed the "Sun", and A1, A2, A3 accepted, this would resolve the problem can not form a majority. 
But the new problem now will face figure: A1, A2, A3 has accepted the "Zhao" At this point we think, "Zhao" was selected, but this time happens Pb and Pc behind the times, to Pb A2 proposes a "money", Pc proposed the "Sun" to A3. This consistency from the state, has returned to an inconsistent state ... which obviously undermines the consistency. 
Paxos is generated in the above context, Paxos objectives to be achieved are:
T1.一次选举必须要选定一个议案（不能出现所有议案都被拒绝的情况）
T2.一次选举必须只选定一个议案（不能出现两个议案有不同的值，却都被选定的情况）
Paxos算法的推导
首先，Paxos算法的必须要能满足第一个条件：
P1：一个Acceptor必须接受它收到的第一个议案。
要满足这个条件实在太过简单了，方法略。。。
下面是我个人对这个条件的理解，为什么必须满足这个条件：
假设只有一个Acceptor，只有一个Proposer。如果Acceptor出于某些原因拒绝了Proposer的议案，那必然导致Paxos的目标T1无法达成。因此可以认为目标T1隐含了P1。
在开始P2的推导的前，为了区分不同议案，需要先对每个Proposer的议案进行编号，编号时必须保证每个议案的编号具有唯一性（不讨论实现方法），而且编号是不断增大的。
Paxos的目标T2隐含了P2：
P2：如果一个值为v的议案被选定了，那么被选定的更大编号的议案，它的值必须也是v。
P2很容易理解，除了其中的一个形容词更大编号的，这个形容词很扎眼，为什么只对更大编号的议案进行限制，更小的编号怎么办？ 老头子给的解释很简单“By induction on proposal number”（如果不看论文后半部分，没人知道他在说什么…）我说一下我自己的理解：
首先把“更大编号的”几个字换成“其他的”，我们称它为P2S。那么P2S能否满足Paxos的目标？答案是肯定的。然后比较P2和P2S，谁的约束更强？这得看“更小的编号”是怎么处理的，从论文后面的推演来看更小编号的议案绝对不允许被选定！！！因此满足P2的议案是P2S的一个子集。
显而易见，P2S和P2都能满足Paxos目标。换句话说，能满足Paxos目标的办法很多，但我们只选其中一个办法就OK了。不过，要选最简单的办法（看完后面就知道了）。
总之，现在我们可以得出一个结论：
如果P1和P2都能够被满足，那么Paxos的两个目标就能够达成。 如果你对上面这个结论没有异议，那么就说明你已经充分理解了P1和P2。
接下来就需要想办法，如何才能满足P2：议案在选定前，都要先被Acceptor接受，因此要满足P2，我们只要满足下面的条件：
P2a：如果一个值为v的议案被选定了，那么Acceptor接受的更大编号的议案，它的值必须也是v。
P2a是P2的充分条件，但是P2a存在一个×××烦：当一个议案被选定后，一部分Acceptor无法立刻获得通知。例如下图中A1和A2已经接受了“赵”，这时“赵”就被选定了，此时Pb向A3提出了一个议案“钱”，这是A3接受的第一个议案，为了满足P1，A3必须接受这个议案，此时就会导致P2a无法被满足了。
为了解决上述的问题，我们想一下：要是此时不让Pb提出“钱”这个议案，而是提出“赵”这议案就万事大吉了。顺着这个思路，我们得到了P2b：
P2b：如果一个值为v的议案被选定了，那么Proposer提出的更大编号的议案，它的值必须也是v。
P2b是一个比P2a更强的约束，也就是说P2b是P2a的充分条件，只要能满足P2b，那P2a就自动满足。但P2b很难被满足，考虑下图这种情况，A1接受了议案“赵”，A2即将接受议案“赵”，此时Pb提出了一个议案“钱”，这种情况下我们又会遇到跟P2a完全相同的麻烦。
很明显，要想满足P2b，我们必需让Proposer拥有“预测未来”的能力，这听起来像在讲鬼故事，后面会想办法解决这一点。 在介绍如何“预测未来”之前，我们必须先确定Proposer在提出一个议案时，它的值该如何选取，因为取值的方法决定了“预测”的方法。
一个理所当然的取值方法：找到一个Acceptor的多数派的集合，集合内被接受的议案的值都是v，此时Proposer提出一个新的议案，议案的值必须也是v；如果没有这样的多数派集合，那Proposer就任意提。
这个取值方法，完全能符合P2b，这是一目了然的，但问题出在 “预测”上，我们必须能预测到即将形成多数派的那个议案，如果有谁能做到那就真的是在讲鬼故事了。
Proposal提出议案的正确姿势：
P2c：在所有Acceptor中，任意选取半数以上的Acceptor集合，我们称这个集合为S。Proposal新提出的议案（简称Pnew）必须符合下面两个条件之一：
1）如果S中所有Acceptor都没有接受过议案的话，那么Pnew的编号保证唯一性和递增即可，Pnew的值可以是任意值。
2）如果S中有一个或多个Acceptor曾经接受过议案的话，要先找出其中编号最大的那个议案，假设它的编号为N，值为V。那么Pnew的编号必须大于N，Pnew的值必须等于V。
P2c提出议案的规则有点复杂，它真的能满足P2b吗？至少看上去不是那么一目了然…..老头子用了归纳法来证明P2c能满足P2b，但效果不佳，没什么人能看懂，所以下面的证明过程即使你看不懂也必要太沮丧（后面会给出图文解释）。
证明题（注意！前方高能）：
已知议案 $(m, v_a)$，是集合中第一个被选定的议案，接受这个议案的Acceptor集合为 $S_m$，在满足P2c的规则2的情况下，提出了一个新的议案 $(n, v_b)$，其中$n>m$，证明$v_b = v_a$
证明初始成立：当议案的编号$n = m+1$时，证明$v_b = v_a$
因为$(m, v_a)$是第一个被选定的议案，因此在$m+1$提出之前，$m$必然是集群当中编号最大的议案。
根据P2c的规则2，议案$(m+1,v_b)$能够被提出，是因为存在一个多数派集合$S_n$，这个集合中，编号最大的议案的值为$v_b$。因为$Sm$和$Sn$都是多数派集合，所以他们必定存在交集。交集中的Acceptor必定都接受了$(m,v_a)$，$m$是整个集群最大的编号，当然也是$S_n$中最大的编号，根据P2c的规则2，议案$m+1$的值只能是$v_a$，若$v_b$不等于$v_a$，将导致矛盾，因此$v_b = v_a$当$n > m+1$时，假设编号从$m+1$到$n-1$的议案的值都是$v_a$，证明$v_b = v_a$
编号为$m+1$到$n-1$的议案提出后，我们没办法判断究竟那一个议案会被选定，但有一点是可以肯定的：所有接受了$v_a$的Acceptor构成了一个新的集合$S_{n-1}$，这个集合包含了集合$Sm$中的所有Acceptor，$S_{n-1}$显然是一个多数派集合，这个集合接受的议案的编号在$m$到$n-1$之间，而且值为$v_a$。没有包含在集合$S_{n-1}$中的Acceptor所接受的议案一定小于$m$。
根据P2c的规则2，议案$(n,v_b)$能够被提出，那么一定存在一个多数派集合$Sn$，$Sn$中接受的最大编号的议案的值为$v_b$。因为$S_n$和都$S_{n-1}$是多数派集合，所以他们必定存在交集。交集中的议案的最大编号一定在$m$到$n-1$之间。因此$S_n$集合中编号最大的议案一定位于交集内。根据P2c的规则，此时$v_b$必定等于$v_a$。
这个证明过程，如果你能看懂，请受我三跪。。。
接下来，上图，举例说明。
假设有一个议案（3，Va）提交后，这个议案成为了被Acceptor集群选定的第一个议案 ，那此时集群的状态可能会如下图所示：
一共5个Acceptor，有3个Acceptor接受了议案（3，Va），刚刚过半。此时有一个编号为4的议案要提出，根据P2c的规则2，首先选一个过半的集合，就选上图中蓝色线圈出来的A3，A4，A5好了（任意选），这个集合中编号最大的议案是（3，Va），因此新提出的议案必定为（4，Va）。符合P2b。
议案（4，Va）提出后，集群的状态可能是下面这样：
此时再提出编号为5或6，7，8，9，10的议案，这个议案的值必定也是Va（不信的话请举出反例），符合P2b。依此类推。。。
由此可证，P2c是能够满足P2b的！！！
想想看P2，P2a，P2b中为什么一定要有“更大编号的”这几个扎眼的字眼，此时你应该能有一点感觉了，可能你会把它理解成“后提出的”，如果你是这样理解的话，请往下看。
有些童鞋肯定早就已经想到了：当议案（3，Va）提交后，这个议案成为了被Acceptor集群选定的第一个议案，此时集群的状态有没有可能是下面这样？
注意，这时议案（4，Vb）才是集群当中的编号最大的议案，要是这样就糟糕了！当我们提出编号为5的议案时，它的取值就有可能是Vb，导致无法满足P2b。
为了保证不出现这种情况，就要用到前面提到的“预测未来”的能力。跟P2c的议案规则相配套的，需要预测的未来是：
当一个议案在提出时（即使已经在发送的半路上了），它必须能够知道当前已经提出的议案的最大编号。
这样的话，议案（3，Va）提交时，就会知道有一个（4，Vb）的议案已经提交了，然后将自己的编号改成5或更大编号提交，一切就完美了。
但是你知道的，我们并不可能真的预测未来，换个思路，议案肯定是要提交给Acceptor的，只要由Acceptor来保证议案编号的顺序就OK了。于是有：
议案（n，v）在提出前，必须将自己的编号通知给半数以上的Acceptor。收到通知的Acceptor将n跟自己之前收到的通知进行比较，如果n更大，就将n确认为最大编号。当半数以上Acceptor确认n是最大编号时，议案（n，v）才能正式提交。
两个编号不同的议案，不可能同时被确认为最大编号，证明略。
但是实际环境上，上面的条件还不足以保证议案被接受的顺序，比如议案（n，Va）被确认为最大编号后，开始向Acceptor发送，此时（n+1，Vb）提出，由于网络速度的原因，（n+1，Vb）可能比（n，Va）更早被Acceptor接收到。
因此Acceptor收到一个新的编号n，在确认n比自己之前收到的编号大时，必须做出承诺（Promise）：不再接受比n小的议案。
这个承诺会导致部分漏网之鱼（在发送途中被抢走最大编号的议案），无法形成多数派。
例如下图所示：有一个在途的议案（1，Va），当A2和A3对议案（2，Vb）做出承诺的同时，（1，Va）就失去了形成多数派的权利。
至此，我们就形成了一个完整的算法（具体实现请自行搜索PhxPaxos）。
后记
算法原文中，将Promise看做是P2c的具体实现，而我们将Promise看成是弥补P2c的补充条件。这两者没有质的差别，只是角度不同，我个人认为后一种更容易被理解，所以采用了后一种。不过采用后一种会遇到下面的麻烦：
按下面的顺序提交议案：
① Proposal (1, Va) sends Prepare to A1, obtained promises A1.
② motion (2, Vb) sends Prepare to A1, obtained promises A1.
③ transmitting motion (1, Va)
In this case the motion will refuse A1 (1, Va) 
an explanation after use, then, you will find A1 reject bill (1, Va) is a violation of the P1, P1 while the former uses an interpretation is not violated. (This is just a word game, I've been lazy to think, so be it)
We will state if more than half of Acceptor make a commitment to the same bill (n, v) is called the "locked" state. Then the "locked" state has the following properties:
EXCLUSIVE: all smaller than n are not allowed to submit a proposal, already in motion way, it is not allowed to form a majority.
Uniqueness: any given time, only one global motion can get "locked" state.
Atomicity: motion from the locked state to n during the unlocked state atoms, n + 1 is changed to the motion process are atoms locked state from the unlocked state.
I believe that it is above the three properties to ensure consistency.
to sum up:
This paper analyzes the value of Paxos algorithm and the specific implementation principle and I hope that in the process of learning Paxos algorithm that we can have lost a little hair.
Finally, thanks for such a wonderful old man given algorithm.
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