LDLT; matriz definida real simétrica (semi) positiva; subforma principal sequencial; expansão de Taylor

Introdução ao método de decomposição de LDLT

Se A é uma matriz simétrica e qualquer uma de suas principais subformas de ordem k não é zero, então A tem a seguinte forma de decomposição única: A=LDL ^ T.
Entre eles, L é uma matriz unitária triangular (isto é, os principais elementos diagonais são todos 1), D é uma matriz diagonal (somente os elementos estão na diagonal principal e o restante é zero) e L^T é a transposição matriz de L .
O método de decomposição de LDLT é na verdade uma melhoria do método de decomposição de Cholesky, porque embora o método de decomposição de Cholesky não exija a seleção de pivôs, o problema da raiz quadrada está envolvido no processo de operação, e o método de decomposição de LDLT evita esse problema e pode ser usado para resolver equações lineares.
Assumindo um sistema de equações lineares Ax=b,
aplique o método de decomposição LDL^T: A=LU=LDL ^T, isto é, LDL ^Tx=b,
seja DL^Tx=y, isto é, Ly=b,
então resolva o sistema de equações lineares Ax=b De fato, ele é decomposto em duas etapas:
1. Obtenha y de Ly=b
2. Obtenha x de DL^Tx=y (ou L ^Tx=D ^ (-1)y.

Matrizes reais simétricas (semi) positivas definidas

Seja A uma matriz simétrica real, se para cada vetor real diferente de zero X existe X'AX>0, então A é chamada de matriz definida positiva e X'AX é chamada de forma quadrática definida positiva.
Suponha que A seja uma matriz simétrica real, se para cada vetor real diferente de zero X, existe X'AX≥0, então A é chamada de matriz semidefinida positiva e X'AX é chamada de forma quadrática semidefinida positiva .
Para a matriz simétrica real de ordem n A, as seguintes condições são equivalentes:
(1) A é uma matriz definida positiva;
(2) todas as subformas principais de ordem de A são positivas;
(3) todas as subformas principais de A são positivas;
( 4 ) Os autovalores de A são todos positivos;
(5) Existe uma matriz real invertível C, tal que A=C′C;
(6) Existe uma matriz real m×n B de posto n, tal que A =B′B;
(7) Existe uma matriz triangular real R cujos elementos diagonais principais são todos positivos, de modo que A=R′R

A subforma principal da sequência é converter alguns elementos da matriz quadrada de ordem n na forma determinante.
O determinante de ordem k de uma matriz quadrada é composto pelas primeiras k linhas e k colunas da matriz quadrada.
Para uma matriz quadrada A de ordem n, ela tem subformas principais de ordem n. Ao calcular todas as subformas principais sequenciais da matriz quadrada A, pode-se julgar se uma forma quadrática real é definida positiva ou se a matriz quadrada A é uma matriz definida positiva e se a matriz quadrada A pode ser decomposta exclusivamente por LU.

A fórmula comumente usada para a expansão de Taylor de f(x) em x=a é f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)/2! (xa)^2+...+f(n)(a)/n! *(xa)^n.