In der Mathematik ist ∏ \prodDas Symbol ∏ stellt den Produktoperator dar, mit dem das Produkt einer Reihe von Zahlen berechnet werden kann. Mit∏ \prodBei der Verwendung des Π- Symbols geben wir normalerweise seine Indizes an, um den Bereich und die Form des Produkts anzuzeigen. Speziell:
Hochgestellt: Wird normalerweise verwendet, um die Obergrenze oder den Grenzpunkt des Produkts anzugeben, was bedeutet, dass ein Anfangswert mit der Obergrenze oder dem Grenzpunkt multipliziert wird. Zum Beispiel ∏ i = 1 ni \prod\limits_{i=1}^{n} iich = 1∏ni Anzeige voni = 1 i=1ich=1 beginnt sich zu multiplizieren, bisi = ni=nich=Bis auf n , also1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ⋅ n 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot n1⋅2⋅3⋯⋅n .
Index: Wird normalerweise verwendet, um die Form oder den Bereich des Produkts anzugeben und anzugeben, welche Zahlen multipliziert werden müssen. Zum Beispiel∏ i ∈ S ai \prod\limits_{i \in S} a_iich ∈ S∏Aichbedeutet für die Menge SSJedes Element in S iii , alle müssen die entsprechende Zahlai a_iAichFühren Sie eine Multiplikationsoperation durch.
Zusammengenommen sind zwei ∏ \prodDie jeweiligen hoch- und tiefgestellten Zeichen im Π- Symbol stehen für unterschiedliche Produktbereiche und -formen. Zum Beispiel∏ i = 1 n ∏ j = 1 mai , j \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}ich = 1∏nj = 1∏mAich , jbedeutet für Matrix aaJedes Element in a ai , j a_{i,j}Aich , j, müssen alle multipliziert werden, der Wertebereich ist i = 1 i=1ich=1 bisnnn undj = 1 j = 1J=1 bismmm。
Variante
Wenn ein ∏ \prodDer hochgestellte Wert des Symbols Π erhöht sich um 1 11 , um den Wert der ganzen Formel unverändert zu lassen, ein weiteres∏ \prodDas Symbol ∏ kann auf folgende Weise geändert werden:
- Ändere das hochgestellte Zeichen: ein weiteres ∏ \prodDer hochgestellte Wert des Π -Symbols kann um 1 11 , um die Produktpalette der gesamten Formel unverändert zu lassen. Wenn zum Beispiel∏ i = 1 n ∏ j = 1 mai , j = P \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} a_{i,j} = Pich = 1∏nj = 1∏mAich , j=P , dann wenn das erste∏ \prodDer hochgestellte Wert des Symbols ∏ stammt von nnn wird zun + 1 n+1N+1 , das zweite∏ \prodDer hochgestellte Wert des Symbols ∏ stammt von mmm wird zum − 1 m-1M−1，即∏ i = 1 n + 1 ∏ j = 1 m − 1 ai , j ( ∏ j = 1 Mann + 1 , j ) = P \prod\limits_{i=1}^{n+1} \prod \limits_{j=1}^{m-1} a_{i,j}(\prod_{j=1}^ma_{n+1,j}) = Pich = 1∏n + 1j = 1∏m − 1Aich , j( ∏j = 1mAn + 1 , j)=P。
- Zahl einfügen oder löschen: ein weiteres ∏ \prodDas Symbol ∏ kann eine Zahl einfügen oder löschen, um das Produkt der gesamten Formel unverändert zu lassen. Wenn zum Beispiel∏ i = 1 n ∏ j = 1 mai , j = P \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} a_{i,j} = Pich = 1∏nj = 1∏mAich , j=P , dann wenn das erste∏ \prodDer hochgestellte Wert des Symbols ∏ stammt von nnn wird zun + 1 n+1N+1 , das zweite∏ \prodEine Zahl im Symbol ∏ an + 1 , m a_{n+1,m}An + 1 , mEinfügen in das erste ∏ \prod∏符号中，即∏ i = 1 n + 1 ∏ j = 1 mai , j = P \prod\limits_{i=1}^{n+1} \prod\limits_{j=1}^{m} a_ {i,j} = Pich = 1∏n + 1j = 1∏mAich , j=P. _ Umgekehrt, wenn das erste∏ \prodDer hochgestellte Wert des Symbols ∏ stammt von nnn wird zun − 1 n-1N−1 , das erste∏ \prodEine Zahl an im Symbol ∏ , m a_{n,m}An , mlöschen und in das zweite ∏ \prod einfügen∏符号中，即∏ i = 1 n − 1 ∏ j = 1 Mai , j ⋅ ∏ j = 1 Mann , m = P \prod\limits_{i=1}^{n-1} \prod\limits_{j =1}^{m} a_{i,j} \cdot \prod\limits_{j=1}^{m} a_{n,m} = Pich = 1∏n - 1j = 1∏mAich , j⋅j = 1∏mAn , m=P. _
Es ist zu beachten, dass die oben genannten Änderungsmethoden nur in bestimmten Fällen verwendet werden können und die spezifische Analyse und Berechnung entsprechend der tatsächlichen Situation durchgeführt werden sollte. Bei Änderungen ist darauf zu achten, dass das Produkt der gesamten Formel unverändert bleibt, um die Richtigkeit der Gleichung zu gewährleisten.
Zusätzliche Matrixvariante
Zum Beispiel n=4m+1, wir haben eine einfache Gleichung:
∏ j = m − 1 1 ∏ l = 4 1 UK 4 j + l † ( cos θ 4 2 sin θ 4 2 du θ 4 2 − du θ 4 2 ) = ∏ j = m − 1 2 ∏ l = 4 1 UK 4 j + l † ( cos θ 8 2 Sünde θ 8 2 Sünde θ 8 2 − Sünde θ 8 2 ) \prod\limits_{j=m-1} ^{ 1} \prod\limits_{l=4}^{1} UK^\day_{4j+l} \begin{pmatrix} cos\frac{\theta_4}{2} & sin\frac{\theta_4}{ 2} \\sin\frac{\theta_4}{2} & -isin\frac{\theta_4}{2}\end{pmatrix}=\prod\limits_{j=m-1}^{2}\prod\ Grenzen_{ l=4}^{1} UK^\day_{4j+l} \begin{pmatrix} cos\frac{\theta_8}{2} & sin\frac{\theta_8}{2} \\sin\frac {\theta_8}{2} & -isin\frac{\theta_8}{2}\end{pmatrix}j = m − 1∏1l = 4∏1UK _4 d + l†(cos2ich4Ich bin dabei2ich4ist drin2ich4− Ich bin dabei2ich4)=j = m − 1∏2l = 4∏1UK _4 d + l†(cos2ich8Ich bin dabei2ich8ist drin2ich8− Ich bin dabei2ich8)
Dichtematrix
Die Dichtematrix ist ein mathematisches Werkzeug zur Beschreibung des Quantenzustands in der Quantenmechanik und kann verwendet werden, um den gemischten Zustand eines Quantensystems zu beschreiben. In der Quantenmechanik kann der Zustand eines Systems durch einen komplexen Vektor dargestellt werden, und die Dichtematrix ist eine hermitische Matrix, die man erhält, indem man das äußere Produkt dieses komplexen Vektors nimmt.
Insbesondere, wenn der Zustand eines Systems als Spaltenvektor ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ausgedrückt werden kann∣ ψ ⟩ , dann ist die entsprechende Dichtematrix:
ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ρ = ∣ψ⟩⟨ψ∣R=∣ψ ⟩ ⟨ ψ∣
wobei ⟨ ψ ∣ \langle\psi|⟨ ψ ∣是∣ ψ ⟩ |\psi\rangleDie konjugierte Transponierte von ∣ ψ ⟩ , auch bekannt als Bra-Ket-Notation. Die Dichtematrix ist eine hermitesche Matrix, alsoρ † = ρ \rho^\dagger = \rhoR†=ρ , wobei† \dagger† bezeichnet die hermitesche Konjugierte der Matrix, dh die Transponierte der Matrix und die komplexe Konjugierte jedes Elements.
Die Hauptfunktion der Dichtematrix besteht darin, die statistischen Eigenschaften eines Systems zu beschreiben, die die Wahrscheinlichkeit angeben können, dass sich ein Quantensystem in verschiedenen reinen Zuständen befindet. Für einen reinen Zustand ist seine Dichtematrix eine Projektionsmatrix, also ρ 2 = ρ \rho^2 = \rhoR2=. _ Für einen gemischten Zustand ist seine Dichtematrix der gewichtete Durchschnitt mehrerer Projektionsmatrizen, d. h.ρ = ∑ ipi ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ \rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|R=∑ichPich∣ ψich⟩ ⟨S _ich∣ , wobeipi p_iPichrechts iiDie Auftrittswahrscheinlichkeit von i reinen Zuständen,∣ ψ i ⟩ |\psi_i\rangle∣ ψich⟩ ist der entsprechende Spaltenvektor.
Die Dichtematrix kann als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Quantenmechanik angesehen werden, mit der sich Erwartungswert, Varianz und Kovarianz des Quantenzustands berechnen lassen und damit die Natur des Quantenzustands beschreiben. Da die Dichtematrix sowohl reine als auch gemischte Zustände beschreiben kann, hat sie ein breites Anwendungsspektrum in den Bereichen Quanteninformation und Quantencomputing.