Reference: Writing Pseudocode in Markdown
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.jsfile :// 原始配置 /* module.exports = { onWillParseMarkdown: function(markdown) { return new Promise((resolve, reject)=> { return resolve(markdown) }) }, onDidParseMarkdown: function(html, {cheerio}) { return new Promise((resolve, reject)=> { return resolve(html) }) }, onWillTransformMarkdown: function (markdown) { return new Promise((resolve, reject) => { return resolve(markdown); }); }, onDidTransformMarkdown: function (markdown) { return new Promise((resolve, reject) => { return resolve(markdown); }); } } */ // Latex 魔改 module.exports = { onWillParseMarkdown: function(markdown) { return new Promise((resolve, reject)=> { return resolve(markdown) }) }, onDidParseMarkdown: function(html, { cheerio}) { return new Promise((resolve, reject)=> { return resolve(` <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.11.1/katex.min.js" integrity="sha256-F/Xda58SPdcUCr+xhSGz9MA2zQBPb0ASEYKohl8UCHc=" crossorigin="anonymous"> </script> <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/pseudocode@latest/build/pseudocode.min.css"> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/pseudocode@latest/build/pseudocode.min.js"> </script> ` + html + ` <script> elements = document.getElementsByClassName("pseudocode"); for (var i = 1; i <= elements.length; i++) { setTimeout(function() { var element = document.getElementsByClassName("pseudocode")[0]; pseudocode.renderElement(element, { lineNumber: element.getAttribute("lineNumber") == "true" }); }, i * 100); } </script>`) }) }, onWillTransformMarkdown: function (markdown) { return new Promise((resolve, reject) => { return resolve(markdown); }); }, onDidTransformMarkdown: function (markdown) { return new Promise((resolve, reject) => { return resolve(markdown); }); } }
Write Latex source code
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</div>
# KD-Tree
## 构建
KD-Tree 的构建算法如下：
1. 首先，计算数据集 $Data$ 各个维度的方差，选择方差最大的坐标轴作为枢轴 $pivot$
2. 然后，计算数据集在枢轴上的中位数 $med$，作为数据集的划分标准
3. 所有枢轴坐标不大于 $med$ 的样本收集到子集合 $L$ 里，所有枢轴坐标大于 $med$ 的样本收集到子集合 $R$ 里
4. 递归构建左右子树，直到子集合大小不超过某个阈值 $T$
<pre class="pseudocode" lineNumber="true">
\begin{algorithm}
\caption{构建 KD-Tree}
\begin{algorithmic}
\STATE \textbf{输入}：集合 $Data = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$，叶子阈值 $T$
\STATE \textbf{输出}：树根 $root$
\PROCEDURE{KDTree}{$Data,T$}
\IF{$n \le T$}
\STATE $root.data := Data$
\STATE $root.isleaf := 1$
\RETURN $root$
\ENDIF
\STATE // 选择方差最大的坐标轴作为枢轴，划分数据集
\STATE $root.pivot := \argmax_{1 \le j \le D} variance(Data,j)$
\STATE $root.med := medain(Data,r)$
\STATE $L,R := \empty$
\FOR{$i:=1$ \TO $n$}
\IF{$x_i[root.pivot] \le root.med$}
\STATE $L := L \cup \{x_i\}$
\ELSE
\STATE $R := R \cup \{x_i\}$
\ENDIF
\ENDFOR
\STATE // 递归构建左右子树
\STATE $root.left :=$ \CALL{KDTree}{$L,T$}
\STATE $root.right :=$ \CALL{KDTree}{$R,T$}
\STATE $root.isleaf := 0$
\RETURN $root$
\ENDPROCEDURE
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
</pre>
## 最近邻
在 KD-Tree 上查找给定数据的最近邻，算法如下：
1. 从根节点开始，数据与枢轴上的中值比较，进入 $L, R$ 子集合。递归，直到进入某个叶子节点
2. 计算数据与节点上数据的最小距离点，计算距离 $d_1$
3. 然后回溯到父节点，计算与枢轴中值的距离 $d_2$
4. 如果 $d_1<d_2$，那么已经找到了最近邻；否则还要继续进入兄弟节点，以查找可能存在的更近点，然后继续回溯，直到满足 $d_1<d_2$
<pre class="pseudocode" lineNumber="true">
\begin{algorithm}
\caption{在 KD-Tree 上查找最近邻}
\begin{algorithmic}
\STATE \textbf{输入}：数据 $x$，树根 $root$
\STATE \textbf{输出}：最近邻 $y$
\PROCEDURE{FindNearest}{$x,root$}
\IF{$root.isleaf = 1$}
\RETURN $y := \argmin_{i \in root.data} dist(x,i)$
\ENDIF
\STATE // 递归查找最近邻，找到可能值之后回溯
\IF{$x[root.pivot] \le root.med$}
\STATE $tag := 0$
\STATE $y :=$ \CALL{FindNearest}{$x,root.left$}
\ELSE
\STATE $tag := 1$
\STATE $y :=$ \CALL{FindNearest}{$x,root.right$}
\ENDIF
\STATE $d_1 := dist(x,y)$
\STATE $d_2 := |x[root.pivot]-root.med|$
\STATE // 判断是否已经获得最近邻
\IF{$d_1 > d_2$}
\IF{$tag = 0$}
\STATE $z :=$ \CALL{FindNearest}{$x,root.right$}
\ELSE
\STATE $z :=$ \CALL{FindNearest}{$x,root.left$}
\ENDIF
\STATE $y := \argmin_{i=y,z} dist(x,i)$
\ENDIF
\RETURN $y$
\ENDPROCEDURE
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
</pre>
## 添加数据
在已有的数据集上构建好 KD-Tree 之后，我们可能还有加入新样本的需求。新样本的加入规则很简单，只需找出这个样本所属于的区域（某个叶子节点），然后把新样本添加到这个区域内即可。
KD-Tree 的数据添加算法如下：
1. 从根节点开始，数据与枢轴上的中值比较，进入 $L, R$ 子集合。递归，直到进入某个叶子节点
2. 如果添加新数据后，叶子节点中包含的集合大小超过阈值 $T$，那么就把叶子集合按照 KD-Tree 构建算法，分割为多个节点
<pre class="pseudocode" lineNumber="true">
\begin{algorithm}
\caption{在 KD-Tree 上添加新数据}
\begin{algorithmic}
\STATE \textbf{输入}：新数据 $x$，树根 $root$，叶子阈值 $T$
\STATE \textbf{输出}：树根 $root$
\PROCEDURE{AddData}{$x,root,T$}
\IF{$root.isleaf = 1$}
\STATE // 判断是否需要分裂
\IF{$|root.data| \ge T$}
\STATE $root :=$ \CALL{KDTree}{$root.data \cup \{x\}$}
\ELSE
\STATE $root.data := root.data \cup \{x\}$
\ENDIF
\RETURN $root$
\ENDIF
\STATE // 递归进入左右子树
\IF{$x[root.pivot] \le root.med$}
\STATE \CALL{AddData}{$x,root.left,T$}
\ELSE
\STATE \CALL{AddData}{$x,root.right,T$}
\ENDIF
\RETURN $root$
\ENDPROCEDURE
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
</pre>
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