BP算法双向传_链式求导最缠绵（深度学习入门系列之八）

摘要： 说到BP(Back Propagation)算法，人们通常强调的是反向传播，其实它是一个双向算法：正向传播输入信号，反向传播误差信息。接下来，你将看到的，可能是史上最为通俗易懂的BP图文讲解，不信？来瞅瞅并吐吐槽呗！

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8.1 BP神经网络极简史
在神经网络（甚至深度学习）参数训练中，BP(Back Propagation)算法非常重要，它都占据举足轻重的地位。在提及BP算法时，我们常将它与杰弗里•辛顿（Geoffrey Hinton）的名字联系在一起。但实际上，辛顿还真不是第一个提出BP算法的人，就像爱迪生不是第一个发明电灯的人一样。但人们记住的，永远都是那个让电灯“飞入平常百姓家”的功勋人物爱迪生，而不是它的第一发明人美国人亨利·戈培尔(Henry Goebel)。
如果说辛顿就是BP算法的“爱迪生”，那谁是BP算法的“戈培尔”呢？他就是保罗·沃伯斯（Paul Werbos）。1974年，沃伯斯在哈佛大学博士毕业。在他的博士论文里，首次提出了通过误差的反向传播来训练人工神经网络[1]。事实上，这位沃伯斯不光是BP算法的开创者，他还是循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）的早期开拓者之一。在后期的系列入门文章中，我们还会详细介绍RNN，这里暂且不表。
说到BP算法，我们通常强调的是反向传播，但其实呢，它是一个典型的双向算法。更确切来说，它的工作流程是分两大步走：（1）正向传播输入信号，输出分类信息（对于有监督学习而言，基本上都可归属于分类算法）；（2）反向传播误差信息，调整全网权值（通过微调网络参数，让下一轮的输出更加准确）。
下面我们分别举例，说明这两个流程。为了简化问题描述，我们使用如图8-1所示的最朴素三层神经网络。在这个网络中，假设输入层的信号向量是[-1, 1]，输出层的目标向量为[1, 0]，“学习率”η为0.1，权值是随机给的，这里为了演示方便，分别给予或“1”或“-1”的值。下面我们就详细看看BP算法是如何运作的？

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图8-1 简易的三层神经网络
8.2.1正向传播信息
正向传播信息，简单说来，就是把信号通过激活函数的加工，一层一层的向前“蔓延”，直到抵达输出层。在这里，假设神经元内部的激活函数为Sigmod（[Math Processing Error]f(x)=11+e−x）。之所以选用这个激活函数，主要因为它的求导形式非常简洁而优美：
[Math Processing Error]
(8.1)f′(x)=f(x)(1−f(x))

事实上，类似于感知机，每一个神经元的功能都可细分两大部分：（1）汇集各路链接带来的加权信息；（2）加权信息在激活函数的“加工”下，神经元给出相应的输出，如图8-2所示。

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图8-2 单个神经元的两部分功能
于是，在正向传播过程中，对于[Math Processing Error]f1(e)神经元的更新如图8-3所示，其计算过程如下所示：
[Math Processing Error]
f1(e)=f1(w11x1+w21x2)=f1((−1)×1+1×(−1))=f1(−2)=11+e−(−2)=0.12



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图8-3 神经元信息前向更新神经元1的f1(e)
接着，在同一层更新[Math Processing Error]f2(e)的值，过程和计算步骤类似于[Math Processing Error]f1(e)，如图8-4所示：
[Math Processing Error]
f2(e)=f2(w12x1+w22x2)=f2(1×1+1×(−1))=f2(0)=11+e0=0.5
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图8-4 神经元信息前向更新神经元2的f2(e)
接下来，信息正向传播到下一层（即输出层），更新神经元3的[Math Processing Error]f3(e)（即输出[Math Processing Error]y1的值），如图8-5所示。
[Math Processing Error]
y1=f3(e)=f3(w13f1+w23f2)=f3(1×0.12+1×0.5)=f3(0.62)=11+e−0.62=0.65
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图8-5 神经元信息前向更新神经元3的f3(e)
然后，类似地，计算同在输出层求神经元[Math Processing Error]f4(e)（即输出[Math Processing Error]y2）的值，如图8-6所示。
[Math Processing Error]
y2=f4(e)=f4(w14f1+w24f2)=f4((−1)×0.12+1×0.5)=f4(0.38)=11+e−0.38=0.59
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图8-6神经元信息前向更新f4(e)
到此，在第一轮信号前向传播中，实际输出向量已计算得到[Math Processing Error]y′=[0.65,0.59]T，但我们预期输出的向量（即教师信号）是[Math Processing Error]y=[1,0]T，这二者之间是存在“误差”的。于是，重点来了，下面我们就用“误差”信息反向传播，来逐层调整网络参数。为了提高权值更新效率，这里就要用到下文即将提到的“反向模式微分法则（chain rule）”。

8.2.2 求导中的链式法则
（砰！砰！砰！敲黑板！请注意：如下部分是BP算法最为精妙之处，值得细细品味！）
在前面信号正向传播的示例中，为了方便读者理解，我们把所有的权值都暂时给予了确定之值。而实际上，这些值都是可以调整的，也就是说其实它们都是变量，除掉图8-1中的所有确定的权值，把其视为变量，得就到更为一般化的神经网络示意图8-7。

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图8-7 带权重变量的神经网络
这里为了简化理解，我们暂时假设神经元没有激活函数（或称激活函数为[Math Processing Error]y=x），于是对于隐含层神经元，它的输出可分别表示为：
[Math Processing Error]
f1=x1w11+x2w21f2=x1w12+x2w22
然后，对于输出层神经元有：
[Math Processing Error]
f3=f1w13+f2w23=(x1w11+x2w21)w13+(x1w12+x2w22)w23=x1w11w13+x2w21w13+x1w12w23+x2w22w23
[Math Processing Error]
f4=f1w14+f2w24=(x1w11+x2w21)w14+(x1w12+x2w22)w24=x1w11w14+x2w21w14+x1w12w24+x2w22w24
于是，损失函数[Math Processing Error]L可表示为公式（8.2）：
[Math Processing Error]
(8.2)L(w11,w12,...,wij,...,wmn)=12(yi−fi(w11,w12,...,wij,...,wmn))2
这里[Math Processing Error]Y为预期输出值向量，为实际输出向量[Math Processing Error]fi(w11,w12,...,wij,...,wmn)。对于有监督学习而言，在特定训练集合下，输入元素[Math Processing Error]xi和预期输出[Math Processing Error]yi都可视为常量。由此可以看到，损失函数[Math Processing Error]L，在本质上，就是一个单纯与权值[Math Processing Error]wij相关的函数（即使把原本的激活函数作用加上去，除了使得损失函数的形式表现得更加复杂外，并不影响这个结论）。
于是，损失函数[Math Processing Error]L梯度向量可表示为公式（8.3）：
[Math Processing Error]
(8.3)∇L=(∂L∂w11,∂L∂w12,...,∂L∂wmn)=∂L∂w11e11+∂L∂w12e12+...+∂L∂wmnemn

其中，这里的[Math Processing Error]eij是正交单位向量。为了求出这个梯度，需要求出损失函数[Math Processing Error]L对每一个权值[Math Processing Error]wij的偏导数。
BP算法之所以经典，部分原因在于，它是求解这类“层层累进”的复合函数偏导数的利器。为啥这么说呢？下面，我们就列举一个更为简化但不失一般性的例子来说明这个观点（以下案例参考了Chris Olah的博客文章[3]）。
假设有如下一个三层但仅仅包括[Math Processing Error]a、[Math Processing Error]b、[Math Processing Error]c、[Math Processing Error]d和[Math Processing Error]e等5个神经元的网络，在传递过程中，[Math Processing Error]c、[Math Processing Error]d和[Math Processing Error]e神经元对输入信号做了简单的加工，如图8-8所示。

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图8-8 简易的神经网络
假设变量[Math Processing Error]a影响[Math Processing Error]c，此时我们想弄清楚[Math Processing Error]a是如何影响[Math Processing Error]c的。于是我们考虑这么一个问题，如果[Math Processing Error]a变化一点点，那么[Math Processing Error]c是如何变化的呢？我们把这种影响关系定义为变量[Math Processing Error]c相对于变量[Math Processing Error]a的偏导数，记做[Math Processing Error]∂c∂a。
利用高等数学的知识，我们很容易求得，对于直接相连的神经元（如[Math Processing Error]a对[Math Processing Error]c，或[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]d），可利用“加法规则”或“乘法规则”直接求出。例如，利用加法规则，[Math Processing Error]∂c∂a可表示为：
[Math Processing Error]
∂c∂a=∂(a+b)∂a=∂a∂a+∂b∂a=1

而对于表达式为乘法的求偏导规则为：
[Math Processing Error]
∂∂uuv=u∂v∂u+v∂u∂u=v

那么，对于间接相连的神经元，比如[Math Processing Error]a对[Math Processing Error]e，如果我们也想知道[Math Processing Error]a变化一点点时[Math Processing Error]e变化多少，怎么办呢？也就是说，偏导数[Math Processing Error]∂e∂a该如何求呢？这时，我们就需要用到链式法则了。
这里假设[Math Processing Error]a=2，[Math Processing Error]b=1。如果[Math Processing Error]a的变化速率是1，那么[Math Processing Error]c的变化速率也是1（因为[Math Processing Error]∂c∂a=1)。类似地，如果[Math Processing Error]c的变化速率为1，那么[Math Processing Error]e的变化速率为2（因为[Math Processing Error]∂e∂c=d=2）。所以相对于[Math Processing Error]a变化1，[Math Processing Error]e的变化为[Math Processing Error]1×2=2。这个过程就是我们常说的“链式法则”，其更为形式化的表达为（如图8-9所示）：

[Math Processing Error]
∂e∂a=∂e∂c⋅∂c∂a=d×1=2×1=2
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图8-9 链式法则示意图
[Math Processing Error]a对[Math Processing Error]e的“影响”属于单路径的影响，还比较容易求得，但这并不是我们关注的重点。因为在神经网络中，神经元对神经元的连接，阡陌纵横，其影响也是通过多条路径“交织”在一起的。在图8-9中，我们研究一下[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]e的影响，就能比较好理解这一工作机理。显然，[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]e的影响，也可表达为一个偏导关系：
[Math Processing Error]
∂e∂b=∂cd∂b=d∂c∂b+c∂d∂b=d×1+c×1=2×1+3×1=5

从图8-9可以看出，[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]e影响，其实是“兵分两路”：（1）[Math Processing Error]b通过影响[Math Processing Error]c，然后通过[Math Processing Error]c影响[Math Processing Error]e；（2）[Math Processing Error]b通过影响[Math Processing Error]d，然后通过[Math Processing Error]d影响[Math Processing Error]e。这就是多维变量（这里“多”仅为2）链式法则的“路径加和”原则。
这个原则，看起来简单明了，但其实蕴藏着巨大代价。因为当网络结构庞大时，这样的“路径加和”原则，很容易产生组合爆炸问题。例如，在如图8-10所示的有向图中，如果[Math Processing Error]X到[Math Processing Error]Y有三条路径（即[Math Processing Error]X分别以[Math Processing Error]α、[Math Processing Error]β和[Math Processing Error]χ的比率影响[Math Processing Error]Y），[Math Processing Error]Y到[Math Processing Error]Z也有三条路径（[Math Processing Error]Y分别以[Math Processing Error]δ、[Math Processing Error]ε和[Math Processing Error]ξ的比率影响[Math Processing Error]Z）。

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图8-10 路径加和规则演示
于是，很容易根据路径加和原则得到[Math Processing Error]X对[Math Processing Error]Z的偏导数：
[Math Processing Error]
(8.4)∂Z∂X=(αδ+αε+αξ)+(βδ+βε+βξ)+(χδ+χε+χξ)
上面用到的求偏导数方法，可称之为“前向模式微分（forward-mode differentiation）”，如图8-11-（a）所示。当网络结构简单时，即使[Math Processing Error]X到[Math Processing Error]Z的每一个路径都被“临幸（遍历）”一遍，总共才有 [Math Processing Error]3×3=9 条路径，但一旦网络结构的复杂度上去了，这种“前向模式微分”，就会让求偏导数的次数和神经元个数的平方成正比。这个计算量，就很可能是成为机器“难以承受的计算之重”。
有道是“东方不亮西方亮”。为了避免这种海量求导模式，数学家们另辟蹊径，提出了一种称之为“反向模式微分（reverse-mode differentiation）”。取代公式（8.4）的那种简易的表达方式，我们用公式（8.5）的表达方式来求[Math Processing Error]X对[Math Processing Error]Z的偏导：
[Math Processing Error]
(8.5)∂Z∂X=(α+β+ξ)(δ+ε+ξ)
或许你会不屑一顾，这又是在搞什么鬼？把公式（8.4）恒等变换为公式（8.5）又有什么用呢？

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图8-11 前向与反向微分方法对比
你可别急，这背后大有玄机，且听我慢慢道来。
前文提到的前向模式微分方法，其实就是我们在高数课堂上学习的求导方式。在这种求导模式中，强调的是某一个输入（比如[Math Processing Error]X）对某一个节点（如神经元）的影响。因此，在求导过程中，偏导数的分子部分，总是根据不同的节点总是不断变化，而分母则锁定为偏导变量“[Math Processing Error]∂X”，保持定不变（见图8-11-(a)）。
相比而言，反向模式微分方法则有很大不同。首先在求导方向上，它是从输出端（output）到输入端进行逐层求导。其次，在求导方法上，它不再是对每一条“路径”加权相乘然后求和，而是针对节点采纳“合并同类路径”和“分阶段求解”的策略。
拿8-11-(b)的例子来说，先求[Math Processing Error]Y节点对[Math Processing Error]Z节点的"总影响"（反向第一层）：
[Math Processing Error]
∂Z∂Y=δ+ε+ξ

然后，再求节点[Math Processing Error]X对节点[Math Processing Error]Y的总影响（反向第二层）：
[Math Processing Error]
∂Z∂Y=α+β+χ

然后利用乘法规则求得[Math Processing Error]X对[Math Processing Error]Z的整体影响[Math Processing Error](α+β+ξ)(δ+ε+ξ)。在求导形式上，偏导数的分子部分（节点）不变，而分母部分总是随着节点不同而变化，即[Math Processing Error][∂Z∂]。
这样说来说去，好像还是不太明白！下面我们还是用图8-9所示的原始例子，对比二者的求导过程，一遍走下来，你就能明白其中的差异。为了进一步方便读者理解，我们将图8-9重新绘制为图8-12的样子。

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图8-12 前向模式微分方法
以求变量[Math Processing Error]b偏导数的流程为例，我们先用前向模式微分法，来说明这种方法的求导过程。根据加法规则，对于求偏导值[Math Processing Error]∂e∂b的步骤可以分两步走：（1）求得所有输入（包括[Math Processing Error]a和[Math Processing Error]b）到终点[Math Processing Error]e的每条路径上的偏导值乘积；（2）对所有条路径的导数值进行加和操作。
从8-12所示的图中，对于两个输入[Math Processing Error]a和[Math Processing Error]b，它们共有3条路径抵达终点[Math Processing Error]e（分别计为①、②和③）。
对于第①条路径而言，输入[Math Processing Error]a对[Math Processing Error]e的影响为：
[Math Processing Error]
∂e∂b=0×1×1×2=0

对于第②条路径而言，输入[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]e的影响为：
[Math Processing Error]
∂e∂b=1×1×1×2=2

对于第③条路径而言，输入[Math Processing Error]b对[Math Processing Error]e的影响为：
[Math Processing Error]
∂e∂b=1×1×1×3=3

所以在整体上，输入[Math Processing Error]a和[Math Processing Error]b从三条路径上对e施加的“总影响”为：0+2+3=5.
或许读者已经注意到了，有些路径已经被冗余遍历了，比如在图8-12所示中，[Math Processing Error]a→c→e（第①条路）和[Math Processing Error]b→c→e（第②条路）就都走了路径[Math Processing Error]c→e。
此外，对于求[Math Processing Error]∂e∂a，上述三条路径，它们同样还是“一个都不能少”地走一遍，这到底得有多少冗余啊！
可能你会疑问，对于[Math Processing Error]∂e∂b（[Math Processing Error]∂e∂a），第①（③）条路径明明可以不走的嘛？这种明智，是对人的观察而言的，且是对于简单网络而言的。因为，如果网络及其复杂，人们可能就没有这么“慧眼识珠”，识别其中的路径冗余。
此外，对于计算机而言，有些时候，局部操作的“优化”，相对于整体操作的“规范化”，顶多算得上“奇淫巧技”，其优势可谓是“荡然无存”。如果有过大规模并行编程经验的读者，可能对这个观点会有更深的认知。
然而，同样是利用链式法则，反向模式微分方法就能非常机智地避开了这种冗余（下面即将讲到的BP算法，正是由于这么干，才有其优势的）。在这种方法中，它能做到对每一条路径只“临幸”一次，这是何等的节俭！下面我们来看看它是如何工作的。

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图8-13反向模式微分方法
相比于“前向模式微分法”是以输入（如图8-13-(a)所示的[Math Processing Error]a和[Math Processing Error]b）为锚点，正向遍历每一条可能的路径。反向模式微分法是以节点（或说神经元，如图8-13-(a)所示的[Math Processing Error]e、[Math Processing Error]c和[Math Processing Error]d）为锚点，逐层分阶段求导，然后汇集每一个节点的外部路径（合并同类路径）。
如图8-13-(b)所示，在反向求导的第1层，对于节点[Math Processing Error]c有：

[Math Processing Error]
∂e∂c=∂(c×d)∂c=d=2

类似的，对于节点[Math Processing Error]d有：
[Math Processing Error]
∂e∂d=∂(c×d)∂d=c=3

在阶段性的求解完毕第一层的导数之后，下面开始求解第二层神经元变量的偏导。如图8-13-(c)所示，在反向第2层，对于节点[Math Processing Error]a有如图8-14-(Ⅰ)所示的求导模式。

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图8-14反向模式微分方法的推演
特别需要注意的是，8-14-(Ⅰ)所示的表达式“[Math Processing Error]∂e∂c∂c∂a”中左部“[Math Processing Error]∂e∂c”，已经在第1层求解过了，并“存储”在神经元[Math Processing Error]c中。此时，采用“拿来主义”，拿来就能用！这就是反向模式微分的精华所在！
类似地，在反向求导第2层，对于节点[Math Processing Error]b，由于它汇集“两路兵马”的影响，所以需要合并同类路径，有如图8-14-(Ⅱ)所示结果。
这样一来，如图8-13反向模式微分方法，每个路径仅仅遍历一次，就可以求得所有输出（如[Math Processing Error]e节点）对输入（如[Math Processing Error]a或[Math Processing Error]b节点）的偏导，干净利落，没有任何冗余！
在第七章，我们提到“BP算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。”其功劳，正是得益于这个反向模式微分方法节省的计算冗余！

8.2.3 误差反向传播
有了前面“链式求导”的知识铺垫，下面我们就来细细讲解误差反向传播的过程。鉴于我们的系列文章是写给初学者（实践者）看的，下面我们尽量省略了其中较为复杂的推导公式，对该部分感兴趣的读者可参阅卡内基梅隆大学Tom Mitchell教授的经典著作《机器学习》[3]（对公式不感冒的读者，第一遍阅读可以直接跳过公式，直达图文解释部分）。
误差反向传播通过梯度下降算法，迭代处理训练集合中的样例，一次处理一个样例。对于样例[Math Processing Error]d，如果它的预期输出（即教师信号）和实际输出有“误差”，BP算法抓住这个误差信号[Math Processing Error]Ld，以“梯度递减”的模式修改权值。也就是说，对于每个训练样例[Math Processing Error]d，权值[Math Processing Error]wji的校正幅度为[Math Processing Error]Δwji（需要说明的是，[Math Processing Error]wji和[Math Processing Error]wij其实都是同一个权值，[Math Processing Error]wji表示的是神经元[Math Processing Error]j的第[Math Processing Error]i个输入相关的权值，这里之所以把下标“[Math Processing Error]j”置于“[Math Processing Error]i”之前，仅仅表示这是一个反向更新过程而已）：
[Math Processing Error]
(8.6)Δwji=−η∂Ld∂wji

在这里，[Math Processing Error]Ld表示的是训练集合中样例[Math Processing Error]d的误差，分解到输出层的所有输出向量，[Math Processing Error]Ld可表示为：
[Math Processing Error]
(8.7)Ld(w)=12∑j∈outputs(yj−yj′)2

其中：
[Math Processing Error]yj表示的是第[Math Processing Error]j个神经单元的预期输出值。
[Math Processing Error]yj′表示的[Math Processing Error]j个神经单元的实际输出值。
[Math Processing Error]outputs的范围是网络最后一层的神经元集合。
下面我们推导出[Math Processing Error]∂Ld∂wji的一个表达式，以便在公式（8.7）中使用梯度下降规则。首先，我们注意到，权值[Math Processing Error]wji仅仅能通过[Math Processing Error]netj影响其他相连的神经元。因此利用链式法则有：
[Math Processing Error]
(8.8)∂Ld∂wji=∂Ld∂netj∂netj∂wji =∂Ld∂netjxji

在这里，[Math Processing Error]netj=∑iwjixji，也就是神经元[Math Processing Error]j输入的加权和。[Math Processing Error]xji表示的神经[Math Processing Error]j的第[Math Processing Error]i个输入。需要注意的是，这里的[Math Processing Error]xji是个统称，实际上，在反向传播过程中，在经历输出层、隐含层和输入层时，它的标记可能有所不同。
由于在输出层和隐含层的神经元对“纠偏”工作，承担的“责任”是不同的，至少是形式不同，所以需要我们分别给出推导。
（1）在输出层，对第[Math Processing Error]i个神经元而言，省略部分推导过程，公式（8.8）的左侧第一项为：
[Math Processing Error]
(8.9)∂Ld∂netj=(yj−yj′)yj′(1−yj′)

为了方便表达，我们用该神经元的纠偏“责任（responsibility）”[Math Processing Error]δj(1)描述这个偏导，即：
[Math Processing Error]
(8.10)δj(1)=∂Ld∂netj

这里[Math Processing Error]δj(1)的上标“(1)”，表示的是第1类（即输出层）神经元的责任。如果上标为“(2)”，这表示的是第2类（即隐含层）神经元的责任，见下面的描述。
（2）对隐含层神经元[Math Processing Error]j的梯度法则（省略了部分推导过程），有：

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其中：
[Math Processing Error]fj表示神经单元[Math Processing Error]j的计算输出。
[Math Processing Error]netj表示的是神经单元[Math Processing Error]j的加权之和。
[Math Processing Error]Downstream(j)表示的是在网络中神经单元[Math Processing Error]j的直接下游单元集合。
隐含层神经元的纠差职责，是通过计算前一步输出神经元的“责任”来实现的。
这里说的每层神经元“责任”，或者更为确切来说是“纠偏责任”，其实就是在8.2.2节讲到的“分阶段求解”策略。
在明确了各个神经元“纠偏”的职责之后，下面就可以依据类似于感知机学习，通过如下加法法则更新权值：
对于输出层神经元有：

[Math Processing Error]
(8.12)wji(1)=wji(1)+ηΔwji(1)=wji(1)+ηδi(1)hj
对于隐含层神经元有：

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在这里，[Math Processing Error]η∈(0,1)表示学习率。在实际操作过程中，为了防止错过极值，[Math Processing Error]η通常取小于0.1的值。[Math Processing Error]hj为神经元j的输出。[Math Processing Error]xjk表示的是神经单元[Math Processing Error]j的第[Math Processing Error]k个输入。
上面的公式依然比较抽象，难以理解。下面我们还是以前面的神经网络拓扑结构为例，用实际运算过程给予详细说明，以期望给与读者感性认识。
从上面的描述可以得知，针对输出层的神经元3，它的输出值[Math Processing Error]y1′为0.65，而期望输出值[Math Processing Error]y1为1，二者存在“误差”：[Math Processing Error]e1=y1−y1′=1−0.65=0.35。
在这里，我们把每个神经元根据误差调参的“责任”记为[Math Processing Error]δ，那么，根据公式（8.9）和（8.10），神经元3的“责任”可表示为：

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图8-15 误差反向传播计算神经元3的“责任”
从上面分析可知，我们很容易计算出[Math Processing Error]δ3(1)的值：

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于是，可以反向更新[Math Processing Error]w31(1)的权值为：

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在这里，image（具体推导见公式8.8-8.10），[Math Processing Error]η为学习率，此处取值为0.1。[Math Processing Error]f1为神经元1的输出（即[Math Processing Error]y1′）。
类似地，我们可以反向更新[Math Processing Error]w32(1)）的权值：
[Math Processing Error]
w32(1)=w32(1)+ηΔw32(1)=w32(1)+ηδ3(1)f2=1+0.1×0.0796×0.5=1.00398
同样的操作，我们可以计算出[Math Processing Error]δ4(1)的值，如图8-16所示。
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图8-16 误差反向传播计算神经元4的责任
从而可以反向更新[Math Processing Error]w41(1)的权值：
[Math Processing Error]
w41(1)=w41(1)+ηΔw41(1)=w41(1)+ηδ4(1)f1=−1+0.1×(−0.1427)×0.12=−1.0017
类似地，我们可以反向更新[Math Processing Error]w42(1)的权值：
[Math Processing Error]
w42(1)=w42(1)+ηΔw42(1)=w42(1)+ηδ4(1)f2=1+0.1×(−0.1427)×0.5=0.9929
在反向更新完毕输出层的权值后，下面。我们开始反向更新隐含层的网络权值，示意图如图8-17所示。

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图8-17 误差反向传播计算神经元1的责任
如果我们把反向传播误差的“职责（即[Math Processing Error]δj）”，也看做一种特殊信息的话，那么在隐藏层的每个神经元都会有一个加权和影响，记为[Math Processing Error]Δj，实际上，这里的[Math Processing Error]Δj，就是公式（8.11）的加权求和[Math Processing Error]Downstream(j)（其实也就是8.2.2所提及的“合并同类路径”）。
对于隐含层神经1，则有：

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有了这个权值影响，我们就可以很容易计算出神经元1承担的“责任”[Math Processing Error]δ1(2)：
[Math Processing Error]
δ1(2)=f1(1−f1)Δ1=0.12×(1−0.12)×0.2223=−0.0235

在计算出计算神经元1承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元1相连的两个输入变量权值：

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类似的流程（示意图如图8-18所示），可以求得神经元2的累计加权影响有：

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图8-18误差反向传播计算神经元2的责任
于是，计算神经元2承担的“责任”[Math Processing Error]δ2(2)：
[Math Processing Error]
δ2(2)=f2(1−f2)Δ2=0.5×(1−0.5)×(−0.0631)=0.0158
同样，计算出计算神经元2承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元2相连的两个输入变量权值：

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从上面的推导过程，我们可以看到，经过一轮的误差逆传播，神经网络的权值前后确有不同。但由于学习率（即步长）较小（为0.1），所以前后的权值变化并不大(括号内的数值为原始权值)，如图8-19所示。

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图8-19 一轮BP算法之后前后的权值对比
如此一来，整个网络的权值就全部得以更新。接下来，网络就可接受下一个训练样例，接着往下训练了，直到输出层的误差小于预设的容忍度。
BP算法，在很多场所的确非常有用。例如，1989年，Yann Lecun（又一位当下的深度学习大牛）等人就用BP算法，在手写邮政编码识别上有着非常成功的应用[5]，训练好的系统，手写数字错误率只有5%。Lecun借此还申请了美国专利，开了公司，发了一笔小财。
在发表BP算法之后的30年，2006年，辛顿等人在发表的有关“深度信念网”的经典论文中指出[8]，深度信念网（DBN）的组成元件就是受限玻尔兹曼机 (Restricted Boltzmann Machines, RBM)。而DBN的构建其实分两步走的：（1）单独“无监督”地训练每一层RBM网络，以确保特征向量在映射到不同特征空间时，能够尽可能多地保留特征信息；（2）在DBN的最后一层，设置BP网络，用以接收RBM的输出特征向量作为它的输入特征向量，然后“有监督”地训练实体关系分类器，对网络权值实施微调（Fine-Tune）。
现在你看到了，BP算法的影响力，一直渗透到“深度学习”骨子里！这就是为什么在讲深度学习时，我们绕不过BP算法的原因。

8.4 小结
在本章中，我们详细解释了反向传播（BP）算法，通过学习我们知道，BP算法其实并不仅仅是个反向算法，而是一个双向算法。也就是说，它其实是分两大步走：（1）正向传播信号，输出分类信息；（2）反向传播误差，调整网络权值。如果没有达到预期目的，重走回头路（1）和（2）。
BP算法很成功。但我们也要看到BP算法的不足，比如说会存在“梯度扩散（Gradient Diffusion）”现象，其根源在于对于非凸函数，梯度一旦消失，就没有指导意义，导致它可能限于局部最优。而且“梯度扩散”现象会随着网络层数增加而愈发严重，也就是说，随着梯度的逐层消减，导致它对调整网络权值的调整效益，作用越来越小，故此BP算法多用于浅层网络结构（通常小于等于3），这就限制了BP算法的数据表征能力，从而也就限制了BP的性能上限。
再比如说，虽然相比于原生态的BP算法，虽然它降低了网络参数的训练量，但其网络参数的训练代价还是不小，耗时非常“可观”。就拿LeCun的识别手写邮编的案例说事，其训练耗时就达3天之久。
再后来，与LeCun同在一个贝尔实验室的同事Vladimir Vapnik（弗拉基米尔·万普尼克），提出并发扬光大了支持向量机 (Support Vector Machine) 算法。
SVM作为一种分类算法，对于线性分类，自然不在话下。在数据样本线性不可分时，它使用了所谓“核机制(kernel trick)”，将线性不可分的样本，映射到高维特征空间 (high-dimensional feature space)，从而使其线性可分。自上世纪九十年代初开始，SVM逐渐大显神威，在图像和语音识别等领域，获得了广泛而成功的应用。
在手写邮政编码的识别问题上，LeCun利用BP算法，把错误率整到5%左右，而SVM在1998年就把错误率降到低至0.8%。这远超越同期的传统神经网络算法。
就这样，万普尼克又把神经网络研究送到了一个新的低潮！
在下一章中，我们将来聊聊“卷积神经网络”，这可是深度学习发展过程中的一个重要里程碑，希望你能关注。

8.5 请你思考
通过本章的学习，请你思考如下问题：
（1）正是由于神经网络具有强大的表示能力，“成也萧何，败也萧何”，BP算法常常遭遇“过拟合（overfitting）”，它可能会把噪音当做有效信号，你知道有什么策略来避免过拟合吗？
（2）利用梯度递减策略，BP算法常停止于局部最优解,而非全局最优解，这好比“只因身在此山中”，却不知“人外有人，山外有山”，你知道有什么方法可以改善这一状况吗？
（3）在BP算法流程中，我们看到的是反反复复的权值调整，而杰弗里•辛顿在文献[4]中提到的特征表示（representation），体现在什么地方？

【参考文献】
[1] Paul J. Werbos. Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences. PhD thesis, Harvard University, 1974
[2] Christopher Olah. Calculus on Computational Graphs: Backpropagation
[3]Tom Mitchell著.曾华军等译. 机器学习. 机器工业出版社. 2007.4
[4] Williams D, Hinton G. Learning representations by back-propagating errors[J]. Nature, 1986, 323(6088): 533-538.
[5] LeCun Y, Boser B, Denker J S, et al. Backpropagation applied to handwritten zip code recognition[J]. Neural computation, 1989, 1(4): 541-551.
[6]周志华. 机器学习. 清华大学出版社. 2016.1
[7] Mirosav Kubat著. 王勇等译. 机器学习导论. 机械工业出版社. 2016.11
[8] Hinton G E, Osindero S, Teh Y W. A fast learning algorithm for deep belief nets[J]. Neural computation, 2006, 18(7): 1527-1554.

文章作者：张玉宏，著有《品味大数据》一书。审校：我是主题曲哥哥。

（未完待续）

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