Topic description
An integer can always be split into the sum of powers of 2, for example: 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+ 2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 There are six different splits in total. Another example: 4 can be split into: 4 = 4, 4 = 1 + 1 + 1 + 1, 4 = 2 + 2, 4=1+1+2. Use f(n) to represent the number of different splits of n, such as f(7)=6. It is required to write a program, read in n (not more than 1000000), and output f(n)%1000000000.
Enter description:
Each set of inputs consists of an integer: N (1<=N<=1000000).
Output description:
For each set of data, output f(n)%1000000000.
Example 1
enter
7
output
6
Problem solving ideas
搬运一下思路：
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。
证明:
证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上记号的具体例子见文末。
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
这就证明了我们的递推公式。
code
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[1000001];
intmain()
{
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for(int i = 3;i <= 1000000;i++)
{
if(i % 2 == 0)
{
dp[i] = (dp[i / 2] + dp[i - 1]) % 1000000000;
}
else dp[i] = dp[i - 1] % 1000000000;
}
int n;
cin >> n;
cout << dp[n] << endl;
return 0;
}