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题目
给你数字 k ，请你返回和为 k 的斐波那契数字的最少数目，其中，每个斐波那契数字都可以被使用多次。
斐波那契数字定义为：
F1 = 1
F2 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2 ， 其中 n > 2 。
数据保证对于给定的 k ，一定能找到可行解。
示例 1：
输入：k = 7
输出：2
解释：斐波那契数字为：1，1，2，3，5，8，13，……
对于 k = 7 ，我们可以得到 2 + 5 = 7 。
示例 2：
输入：k = 10
输出：2
解释：对于 k = 10 ，我们可以得到 2 + 8 = 10 。
示例 3：
输入：k = 19
输出：0
解释：对于 k = 19 ，我们可以得到 1 + 5 + 13 = 19 。
思路
一开始想到的是用完全背包，看了题解之后，发现贪心的方法，代码简介，证明非常巧妙。而且官方题解证明过程有些复杂，逻辑关系理解上需要一定的时间，所以再来总结一下。
贪心方法可能的关键点在于，一定存在一组最优解，包含不超过k的最大斐波那契数字f[m]。
首先，如果承认上面这个结论正确，那么贪心算法就很简单了，既然一定包含f[m]，那么接下去可以转化成求解k-f[m]，是原问题的子问题，一直这样求解下去，直到k=0即可。
接下来，我们看怎么证明上面这个结论。在直接证明这个结论之前，我们先看2个子结论：
- 最优解一定不包含连续2项斐波那契数字
- 存在一组最优解，不包含重复的项
结论1的证明比较简单，可以使用反正，假设存在最优解包含连续的2项，记为f[k]和f[k+1]，根据斐波那契的定于，我们知道f[k+2] = f[k] + f[k+1]，所以，使用f[k+2]去替换f[k]和f[k+1]，和相等的情况下减少了1项，明显比原来的解更优，所以假设不成立。
结论2，我们可以这样推导，假设有1个最优解存在重复的项，记为2f[k]
2f[k] = f[k] + f[k] = (f[k+1]-f[k-1]) + (f[k-1]+f[k-2]) = f[k+1] + f[k-2]
即，可以使用2个不相同的项f[k+1]、f[k-2]来替换重复的2f[k]，所以结论2成立。
接下来，我们根据上面2个子结论，我们要明证我们的最终结论，一定存在最优解包含f[m]，这里官方题解有一个点没完全点破：
这一组不包含连续的项，也不包含重复的项的最优解，如果不包含不超过k的最大斐波那契数字f[m]，那么剩下的数即使全选，也凑不够k了。 我们来证明：
根据上面2个子结论，我们根据m的奇偶性分成2种情况，来计算除了f[m]，剩余的最大和sum：
- m是奇数，sum = f[m-1] + f[m-3] +...+ f[4] + f[2] = f[m-1] + f[m-3] +...+ f[4] + f[2] + f[1] - f[1] = f[m] - 1
- m是偶数，sum = f[m-1] + f[m-3] +...+ f[3] + f[1] = f[m-1] + f[m-3] +...+ f[3] + f[2] = f[m]
可以看到，无论是哪种情况，都可以得到
sum <= f[m] < k
所以，此时如果不选择f[m]，剩下即使全选也凑不够k，所以f[m]必选。 综上所述，原始结论“一定存在一组最优解，包含不超过k的最大斐波那契数字f[m]”证明成立。
Java版本代码
class Solution {
public int findMinFibonacciNumbers(int k) {
List<Integer> fabList = new ArrayList<>();
fabList.add(1);
fabList.add(1);
int index = 1;
while (fabList.get(index) < k) {
index++;
fabList.add(fabList.get(index-2) + fabList.get(index-1));
}
int ans = 0;
for (int i = index; i >= 0; i--) {
if (k >= fabList.get(i)) {
ans++;
k -= fabList.get(i);
}
}
return ans;
}
}
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