1460.最小代价问题

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题目大意

如下图，有一个长为$n(n\le 100)$，宽为$m(m\le 100)$方格，上面去掉了一些点（用0表示），试着找出一条从左上角到右下角的最短路径（只能朝右或下走，终点不算代价），并输出路径。

解题思路

这题，最容易的算法就是DP（动态规划），可以使用“我为人人”的做法，则动态转移方程为：
$f(i+1,j)=min(f(i+1,j),f(i,j)+map(i+1,j))$
$f(i,j+1)=min(f(i,j+1),f(i,j)+map(i,j+1))$
求出了最小代价，接下来，就是路径。
每一个点，都只能朝下或右走，反过来想，每一个点，都只能从这个点的左边或上面过来，而由于$f(i,j)$表示的是从$(1,1)$走来的最小代价，且这个点在地图上对应点的数值是不会变化的，所以想要
保证这个点的代价最小，一定是要从左边和上面中代价更小的位置走来。所以，只要使用贪心，就可以得出路径。

代码实现

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
long long a[200][200],f[200][200],ans[40000][2],tot,n,m;
int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	if(n<=1&&m<=1){
    
    
		cout<<0;
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>a[i][j];
	memset(f,0x5f,sizeof(f));
	f[1][1]=a[1][1];//初始条件
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(a[i][j]!=0){
    
    //是否为空
				if(i+1<=n&&a[i+1][j]!=0)//判断超界与是否为空
					f[i+1][j]=min(f[i+1][j],f[i][j]+a[i+1][j]);//找出下方位置的最小代价
				if(j+1<=m&&a[i][j+1]!=0)//判断超界与是否为空
					f[i][j+1]=min(f[i][j+1],f[i][j]+a[i][j+1]);//找出右方位置的最小代价
			}
	int x=n,y=m;//从右下角找起
	while(x!=1||y!=1){
    
    //一直找到右上角
		if(f[x-1][y]<f[x][y-1]){
    
    //是选向上还是向左
			ans[++tot][0]=x;//将答案记在数组中
			x=x-1;//向上
			ans[tot][1]=y;//将答案记在数组中
		}
		else{
    
    
			ans[++tot][0]=x;//将答案记在数组中
			ans[tot][1]=y;//将答案记在数组中
			y=y-1;//向左
		}
	}
	ans[++tot][0]=1;
	ans[tot][1]=1;
	for(int i=tot;i>1;i--)//逆着遍历一次
		cout<<"("<<ans[i][0]<<","<<ans[i][1]<<")->";//用printf更合适
	cout<<"("<<ans[1][0]<<","<<ans[1][1]<<")"<<endl;
	cout<<min(f[n-1][m],f[n][m-1]);//由于终点代价不算，所以答案在终点的左方或上方
}

样例

输入

4 4
4 10 7 0
3 2 2 9
0 7 0 4
11 6 12 1

输出

(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)
24