同余定理逆元中国剩余定理费马小定理

同余定理

同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对模m同余或a同余于b模m

同余性质

反身性：a≡a (mod m)
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)
传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)
同余式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a ± c≡b ± d(mod m)
同余式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则ac≡bd(mod m)
线性运算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a ± c≡b ± d(mod m)，且a * c≡b * d(mod m)
除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数

逆元

$\% p = (a * b的逆元) \% p$

费马小定理求逆元:

b的逆元 = $b^{p-2}$

线性递推

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3000010
typedef long long ll;
using namespace std;
int inv[N],n,p;
inline int read() {
    
    
	int f=1,x=0;
	char ch;
	do {
    
    
		ch=getchar();
		if(ch=='-')f=-1;
	} while(ch<'0'||ch>'9');
	do {
    
    
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	} while(ch>='0'&&ch<='9');
	return f*x;
}
int main() {
    
    
	n=read();
	p=read();
	inv[1]=1;
	puts("1");
	for(int i= 2; i <= n; i++) {
    
    
		inv[i] = (ll)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
		printf("%d\n", inv[i]);
	}
}

中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23，这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

拓展

求解同余方程组

/*
https://www.luogu.com.cn/problem/P4777
*/ 

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;

lt read()
{
    
    
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){
    
    if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){
    
    x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n;
lt ai[maxn],bi[maxn];

lt mul(lt a,lt b,lt mod) // 龟速乘 
{
    
    
    lt res=0;
    while(b>0)
    {
    
    
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    
    
    if(b==0){
    
    x=1;y=0;return a;}
    lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    lt tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

lt excrt()
{
    
    
    lt x,y,k;
    lt M=bi[1],ans=ai[1];//第一个方程的解特判 ans 为前k - 1 个方程组的通解 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    
    
        lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;//ax≡c(mod b)
        lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0) return -1; //判断是否无解，然而这题其实不用
        x=mul(x, c/gcd, bg);
        ans+=x*M;//更新前k个方程组的答案
        M*=bg;//M为前k个m的lcm
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}

int main()
{
    
    
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    bi[i]=read(),ai[i]=read();
    printf("%lld",excrt());
    return 0;
}

欧拉定理

欧拉定理表明, 若n, a为正整数，且互素, 则
$a^{\psi(n)} \equiv 1(mod\,n)$

费马小定理降幂

使用前提:
p 是质数，且 gcd(a, p) = 1，那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
$求(a^N)\,mod(p)$
$a^{p-1} \equiv1\,(mod\,p)$
$k=N\%(p-1)$
$a^N)mod(p)=(a^k)mod(p)$