【ACWing】3115. 疯狂的馒头

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/description/3118/

CQF十分喜欢吃馒头。兴奋之下他一下子买了$N$个馒头请所有认识他的人吃。但是CQF不喜欢白色，喜欢红色、黄色、绿色等鲜艳的颜色。于是他把所有白色的馒头排成一列。然后进行$M$次染色操作。每个染色操作都是用一个神奇的刷子把连续的多个馒头染成特定的某种颜色。一个馒头最终的颜色是最后一次染它的颜色。如果一个馒头没有被染过色，那么它的颜色就是白色。现在CQF已经定好了染色计划：在第$i$次染色操作中，把第 $(i\times p+q)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N+1$个馒头和第$(i\times q+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N+1$个馒头之间的馒头染成颜色$i$，其中$p,q$是特定的两个正整数。他想立即知道最后每个馒头的颜色。你能帮他吗?

输入格式：
第一行四个正整数$N,M,p,q$。

输出格式：
一共输出$N$行，第$i$行表示第$i$个馒头的最终颜色（如果最终颜色是白色就输出$0$）。

数据范围：
在$20\%$的数据中，$1\le N\le 10^3,1\le M\le 10^4$
在$40\%$的数据中，$1\le N\le 10^4,1\le M\le 10^5$
在$60\%$的数据中，$1\le N\le 5\times 10^4,1\le M\le 5\times 10^5$
在$80\%$的数据中，$1\le N\le 3\times 10^5,1\le M\le 3\times 10^6$
在$100\%$的数据中，$1\le N\le 10^6,1\le M\le 10^7$
保证所有输入数据中，$1\le M\times p+q,M\times q+p\le 2^{31}-1$。

可以倒着考虑涂色次序，每次涂色的时候，只涂那些从没被涂色过的格子。我们可以开一个并查集，对于每个点$x$，$f(x)$的含义是从$x$向右走，第一个未涂色的位置的下标（如果$x$本身就未涂色，则$p[x]=x$）。再开一个数组$c$，使得$c[x]$是$x$被涂的颜色编号。每次涂区间的时候，从$l$开始走到第一个未被涂色的位置$f(l)$，若其下标小于等于$r$，则可以涂色，涂完之后更新$p[f(l)]$为$f(f(l)+1)$，然后走到$f(f(l)+1)$继续涂色，直到涂到$r$的右边为止。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int n, m, _p, _q;
int p[N], color[N];

int find (int x) {
    
    
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    
    
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &_p, &_q);
	
	// 要多开一个位置，第n + 1个位置永远不会被涂色
    for (int i = 1; i <= n + 1; i++) p[i] = i;

    for (int i = m; i; i--) {
    
    
        int l = (i * _q + _p) % n + 1;
        int r = (i * _p + _q) % n + 1;
        if (l > r) swap(l, r);
		
		// 找到最左边有可能需要涂色的位置
        int pa = find(l);
        // 如果该位置小于等于r，意味着该位置需要涂色，则进入循环，
        // 将所有要涂色的格子全涂上颜色i
        while (pa <= r) {
    
    
        	// 将pa涂色成颜色i
            color[pa] = i;
            // 更新pa的父亲为下一个未被涂色的位置
            p[pa] = find(pa + 1);
            // 走过去进行涂色（如果没出界的话）
            pa = find(pa);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", color[i]);
    
    return 0;
}

时间复杂度$O((m+n){\log }^{\ast }n)$，空间$O(n)$。