1. 问题描述：
给定 n 个区间 [ai，bi] 和 n 个整数 ci。你需要构造一个整数集合 Z，使得 ∀i∈[1，n]，Z 中满足 ai ≤ x≤ bi 的整数 x 不少于 ci 个。求这样的整数集合 Z 最少包含多少个数。
输入格式
第一行包含整数 n。接下来 n 行，每行包含三个整数 ai，bi，ci。
输出格式
输出一个整数表示结果。
数据范围
1 ≤ n ≤ 50000，
0 ≤ ai，bi ≤ 50000，
1 ≤ ci ≤ bi − ai + 1
输入样例：
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
输出样例：
6
来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/364/
2. 思路分析：
这道题目其实有两个解决方法，分别是：① 贪心 ② 差分约束，下面使用差分约束来求解。差分约束的难点在于找全题目中所有的不等式关系，这里需要使用前缀和的思想，Si表示从1~i中选出来的数的个数，因为区间右端点的范围是50000，这里为了空出0号点的位置所以我们将所有输入的区间端点都往后移动一位，对求解的答案是没有什么影响，所以最终的答案是dis[50001]，因为求解的是最小值所以我们需要使用单源最长路径来求解，根据题目的描述找到的不等式关系如下：
- Si >= Si-1，1 <= i <= 50001，==> Si >= Si-1表示我们从第i个节点选的数的个数应该大于等于上一个节点的个数
- Si - Si-1 <= 1，1 <= i <= 50001，==> Si-1 >= Si - 1，表示第i个数字选还是没选
- [a，b]至少选择c个，也即Sb - Sa-1 >= c ==> Sb >= Sa-1 + c
我们需要验证一下限制条件够不够，感觉应该是够的，并且需要验证是否存在源点使得可以到达所有的边，从第一个条件可以发现我们其实是从0号点出发最终是可以到达50001号点的，也即可以到达所有边，所以0号点就是源点。在建图的时候将不等号右边节点向左边节点连一条边，为什么第二个条件第i个节点需要向i-1个节点连一条-1的边，也即为什么要加这个限制呢？其实不加是有问题的，例如下面的数据，如果在建图的时候不加：g[i].append((i - 1, -1))那么答案为151，而正确的答案是157，当第i个节点没有向第i - 1个节点连边的时候那么有些节点的最大值没有更新导致答案错误，所以在限制条件的时候要找全。
5
127 241 56
29 48 12
84 242 139
30 42 10
174 248 75
3. 代码如下：
import collections
from typing import List
class Solution:
def spfa(self, g: List[List]):
INF = 10 ** 10
dis = [-INF] * 50010
dis[0] = 0
q = collections.deque()
q.append(0)
vis = [0] * 50010
vis[0] = 1
# 因为题目一定有解所以一定不存在正环, 所以不用判断正环
while q:
p = q.popleft()
vis[p] = 0
for next in g[p]:
# 单源最长路径求解
if dis[next[0]] < dis[p] + next[1]:
dis[next[0]] = dis[p] + next[1]
if vis[next[0]] == 0:
vis[next[0]] = 1
q.append(next[0])
# 最后一个点就是答案
return dis[50001]
def process(self):
n = int(input())
# 因为区间端点最大为50000所以声明大一点的即可
g = [list() for i in range(50010)]
for i in range(1, 50002):
g[i - 1].append((i, 0))
g[i].append((i - 1, -1))
for i in range(n):
a, b, c = map(int, input().split())
# 为了让0号点空出来所有区间端点的位置向后移动一位, 对答案没有什么影响的
a += 1
b += 1
g[a - 1].append((b, c))
return self.spfa(g)
if __name__ == "__main__":
print(Solution().process())