【计算机算法】递归——半数集问题

题目

问题描述：给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下：
(1) n∈set(n) ；
(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，知道不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}，半数集set(6)中有6个元素。
输入：整数n(0<n<1000)
输出：半数集set(n)中的元素个数。
请设计递归函数，求出set(n)的个数，并分析算法时间复杂度，对算法进行改进，用程序验证递归算法，以及改进之后的算法。
1)设计递归函数、分析算法时间复杂度
2)改进算法

解答

1.代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int bsj(int n){
    
    
    int sum = 1;//本身为1种
    if(n > 1)
    	for(int i = 1;i <= n / 2;i++)
        	sum += bsj(i);
    return sum;
}
int main(){
    
    
	int n;
	cin>>n;
	if(n > 1000) return 0;
	cout<<bsj(n)<<endl;
	return 0;
}

运行结果如下：

该算法的时间复杂度应为O(n的n次方)，存在有的数是重复的问题

2. 通过设置数组来减少重复

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int temp[500] = {
    
    0};
int bsj(int n){
    
    
    int i,sum = 1; //本身为1种
    
    //避免了重复加的问题 
    if(temp[n] > 0)
        temp[n] = sum;
    for(i = 1;i <= n / 2;i++)
       	sum += bsj(i);
    temp[n] = sum;
    return sum;
}
int main(){
    
    
	int n;
	cin>>n;
	if(n > 1000) return 0;
	cout<<bsj(n)<<endl;
	return 0;
}

运行结果如下：