连续段问题小结

一个好用的工具——析合树

oi-wiki

例题

CF526F

题意：
给出一个1~$n$的排列，问有多少个区间的值域是连续的。

题解：
线段树+单调栈做法
分治做法
析合树做法
图论做法

CF997E

题意：
给出一个1~$n$的排列，有$q$次询问，每次问$[l,r]$内，有多少个区间的值域是连续的?

题解：
单调栈+线段树的扫描线做法
析合树离线做法
析合树在线做法

LuoguP4747

题意：
给出一个1~$n$的排列，有$q$次询问，每次问包含位置区间$[l,r]$的连续段的最短长度是多少，连续段的定义为排序后值域连续，可以证明解存在且唯一。

题解：
扫描线做法
析合树做法
图论做法：题解1 题解2

XSY3344

emm，这题原题好像是2018EC Final B.Mysterious … Host
这里有简要题解

题意：

题解：
所有$n$阶排列形成的等价类个数 等于 有$n$个叶子的不同形态的析合树棵树。

析合树有以下性质：

• 合点的儿子个数$\ge 2$（叶子节点除外）
• 析点的儿子个数$\ge 4$

设$f_i$为所有$i$阶排列形成的等价类个数（即有$i$个叶子的不同形态的析合树棵树）。
显然可以$O(n^2)$DP得到$f_n$。

多项式优化：
记$F(x)={\sum }_{i\ge 0}{f}_i{x}^i$，那么有
$$F(x)=(F^2(x)+F^3(X)+F^4(x)+...)+(F^4(x)+F^5(X)+F^6(x)+...)+x$$
$$F(x)=(F^2(x)+F^4(x))(1+F(x)+F^2(X)+F^3(x)+...)+x$$
$$F(x)=\frac{F^2(x)+F^4(x)}{1-F(x)}+x$$

参考——两个学长的$Blog$：
https://www.cnblogs.com/ywwyww/p/10193748.html
https://blog.csdn.net/Mys_C_K/article/details/85385019

附：析合树形态计数 dp

LuoguP6795