简单博弈论小结

-1.ICG
公平游戏，每个状态都是先手必胜或先手必败。#$\ast (@$&(%&$(（省略一堆定义）

0.SG 函数
SG 函数表示对当前局面的评估，$SG(S)=mex(SG(S^{\prime }))S^{\prime }\in nxt(S)$，$nxt(S)$ 表示当前局面的后继局面的集合。

1.nim游戏：

万 恶 之 源

$n$ 堆石头，每堆 $a_i$ 个，每次选一堆取任意个，没得取就GG了。

结论1：单一 nim 游戏（即 $n=1$），$x$ 表示当前局面所剩下的石头，$SG(x)=x$。

结论2：当且仅当 SG(a_1)^ SG(a_2) ^ SG(a_3)…^SG(a_n) = 0 时，先手必败，否则先手必胜。

结论 3：任何 ICG 模型都可以转化为和其 $SG$ 值相等的若干个 nim 游戏。

扩展 1：每个人最多选 $k$ 个。结论：将所有 $a_i$ 对 $k+1$ 取模。

扩展 2：

4.一些 SG 函数
扩展 1：两队人（每队各 $n$ 人）两两火并分别进行 ICG 游戏，最后一轮哪队赢了哪队就赢了。假定都是第一队人先行动，求哪队必胜。

3.无向图删边游戏