[CF995F] Cowmpany Cowmpensation（树形dp，拉格朗日插值）

树形DP：
设$f[u][i]$表示给$u$的子树分配工资，$u$点工资为$i$的方案数
$f[u][i]=\prod _{v\in so{n}_u}(\sum _{j=1}^{i}f[v][j])$
前缀和优化：
设$g[u][i]=\sum _{j=1}^{i}f[u][j]$
$f[u][i]=\prod _{v\in so{n}_u}g[v][i]$
时间复杂度$O(nd)$
考虑用拉格朗日插值优化成$O(n^2)$：
设$g_u(x)$为关于$x$的函数，代入$x$，即可得到$g[u][x]$，
合理猜想$g_u(x)$的次数为$s{z}_u$（$u$的子树大小），可以用数学归纳法证明：

• 当 $u$ 为叶子结点时，$g_u(x)=x$，成立。
• 当 $u$ 非叶子结点时，考虑：
  $g_u(x)-g_u(x-1)=\prod _{v\in so{n}_u}{g}_v(x)$
  由于 $v$ 满足猜想，即$g_v(x)$ 的次数为 $s{z}_v$，则 $g_u(x)-g_u(x-1)$ 的次数为 $\sum _{v\in so{n}_u}s{z}_v$，即 $s{z}_u-1$。
  再还原差分，次数 +1，有 $g_u(x)$ 是关于 $x$ 的 $s{z}_u-1+1=s{z}_u$ 次函数。

所以我们只要知道$g_1(1),g_1(2),...,g_1(n)$，便可以用拉格朗日插值得出$g_1(d)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=3050;
struct Edge{
    
    int v,nxt;}edge[N];
int n,cnt,head[N],fa[N];
int d,f[N][N],sum[N][N],inv[N],ans;
int add(int a,int b){
    
    return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int mul(int a,int b){
    
    return 1ll*a*b%mod;}
void addedge(int u,int v){
    
    
    edge[++cnt].v=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u){
    
    
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
    
    
        int v=edge[i].v;
        dfs(v);
        for(int j=1;j<=min(n,d);j++)
            f[u][j]=mul(f[u][j],sum[v][j]);
    }
    for(int j=1;j<=min(n,d);j++) sum[u][j]=add(sum[u][j-1],f[u][j]);
}
int main(){
    
    
    scanf("%d%d",&n,&d);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
        scanf("%d",&fa[i]);
        addedge(fa[i],i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=min(n,d);j++) f[i][j]=1;
    dfs(1);
    if(d<=n) printf("%d\n",sum[1][d]);
    else{
    
    
        for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
            int x=sum[1][i];
            for(int j=0;j<=n;++j) 
                if(i^j) x=1ll*x*(d-j+mod)%mod*(i>j?inv[i-j]:mod-inv[j-i])%mod;
            ans=add(ans,x);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}