在上一篇博客(https://blog.csdn.net/aliexken/article/details/108020050)中，我们已经介绍了L-BFGS算法的由来与功能，在这一篇中，我们来用一个点云重建工作的实例来具体说明L-BFGS算法是如何解决实际优化问题的。

1. 问题描述

在之前的工作中，我们已经描述过利用CVT算法实现点云网格重建，即基于Centroidal Voronoi Tessellation （CVT）算法的点云三角网格化方法，https://blog.csdn.net/aliexken/article/details/106746560。但是，基于CVT方法的重建，优化时间开销较大。我们需要找到一种效率更高，优化速度更快的方法。这里，我们介绍一种基于粒子间能量优化的方法 [Zhong2019]。该方法利用L-BFGS算法来对粒子间能量进行优化，并最终使得粒子间达到一种能量平衡。如果将点云中的每个点对应一个粒子，那么粒子能量平衡，即是对点云距离场的优化结果，对应isotropic sampling。基于该结果能够建立isotropic mesh，即网格中的每个三角形都是或者近似等边三角形。

首先，我们给出粒子间能量表示：

xi与xj表示点云中的两个点，这两个点的粒子能量，被一个高斯核函数所表示。p表示范数，\segma表示高斯核半径。根据粒子能量，导出梯度，即粒子的受力方向：

这里如果调整能量表示的形式，可以得到不同密度的采样结果，如曲率敏感采样。有兴趣的同学可以看看原论文，这里不再赘述。

基于粒子间能量表示，我们能够得到每个点的势能结果，即：

点云的总势能结果为：

E(X)为我们要优化的目标函数，X为点云，X={x1，x2，...xn}，梯度为F，N(i)为点xi的1邻域。

在得到了目标函数和梯度后，我们就能够利用L-BGFS来进行优化求解

2. 具体实现

原文中的算法求解过程为：

这个算法伪代码在我理解其实是有点问题的。因为对于L-BFGS算法每一步都需要对E进行优化，即E为目标函数。但是算法中，首先计算当前的E，然后在运行对点的位置更新，这个在顺序上存在逻辑问题。应该是将对E以及F的计算放在L-BFGS内部，以实现对E的更新。同时，在每一步更新后，需要将更新的点映射回到最近的切空间，即pulling back。这里我认为如果用梯度下降更直观，不过还是为了忠实于原文的叙述，我们建立了基于L-BFGS的优化框架。

这里的L-BFGS方法的实现，基于微软亚研院刘洋博士提供的工具HBFGS：https://xueyuhanlang.github.io/software/HLBFGS/

根据HBFGS的框架，我们给出更新函数的伪代码：

//假设用户指定的点云采样量为10000。
1. 获取10000点的初始位置；
2. 基于kd树，估算segama，即高斯核半径
3. 启动HLBFGS
   HLBS内部：
   evalfunc(int N, double* x, double* prev_x, double* E, double* F){//迭代函数的更新方法
       //N 为点云数据的总数，将三维坐标拉为一维，得到一个30000的一维向量x
       //这里的E与F就是目标函数与梯度。
       3.1 根据向量x计算E，注意，在计算E的时候，只考虑5*segama范围内的点。
       3.2 根据向量x计算F，与计算E时相同。   
   }
4. 完成HLBFGS优化，输出结果。

//补充
E与F的计算：
1. 建立kd树
2. For i from 10000 点
       获取i点的邻居，在5*segama范围内
       根据E的计算公式，得到Ei
       根据F的计算公式，得到Fi
3. 获得Ei的总和E，与Fi向量（10000）
4. 返回E与Fi