问题一：一个数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到并打印这种数
问题一解题思路
因为a ^ a = 0, 所以出现过偶次的数异或结果都是0，又因为0^a=a，所以把数组中所有的数做异或以后的结果，就是出现了奇数次的那个数。
问题一完整代码
public class LeetCode_0136_SingleNumber {
public static int singleNumber(int[] nums) {
int ans = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
ans ^= nums[i];
}
return ans;
}
}
问题二：一个数组中有两种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到并打印这两种数
问题二解题思路
根据问题一的结论，假设数组中a和b这两个数出现了奇数次，这个数组中的所有数字异或以后得到的结果一定a^b
因为a和b是两种不同的数，所以a^b的结果一定不等于0。
所以，a^b的结果如果转换成二进制的话，一定有某位是1。我们假设a^b转换成二进制后最右侧位置的1在i位置，由此可以得出一个结论：a和b的二进制在i位置一定一个为0，一个为1
不妨假设a的i位置为0，b的i位置为1。
此外，容易得知，整个数组中的数，i位置为0的数除了a以外，其他数一定有偶数个， i位置为1的数除了b之外，其他数一定有偶数个。
那么我们可以只对i位置为1的数求异或，最后得到的值一定是b，然后通过b^(a^b) = a，可以得到a的值。
最后只剩下一个问题：
如何求一个数最右侧的1呢?
假设 某个数x二进制为：00010010, 其最右侧的1是：00000010。
算法是：对于一个数x来说，它最右侧的1等于x & ((~x) + 1)或者x & (-x)
所以，如果一个数是a^b，那么它最右侧的1就是(a^b) & (~(a^b) + 1)
我们用(a^b) & (~(a^b) + 1)这个值去和数组中每个值数做与运算(&)，如果与完以后的结果是0，说明这个数i位置是0，否则说明这个数i位置是1。我们前面已经得到一个结论，i位置为0的数除了a以外，其他数一定有偶数个。所以，用(a^b) & (~(a^b) + 1)这个值和每个i位置是0的数组元素做与运算以后，最后的结果一定是a。 得到a以后，然后通过a^(a^b) = b，可以得到b的值。
问题二完整代码
public class LeetCode_0260_SingleNumberIII {
public static int[] singleNumber(int[] arr) {
int eor = 0;
for (int n : arr) {
eor ^= n;
}
// 假设出现奇数次的两种数为 a和b
// eor = a ^ b
// 获取最右侧的1
int a = 0;
int rightOne = eor & ((~eor) + 1);
for (int n : arr) {
if ((n & rightOne) == 0) {
a ^= n;
}
}
int b = a ^ eor;
return new int[]{
a, b};
}
}
当有如下公式计算一个数最右侧的1以后
x & ((~x) + 1)
我们还可以解决如下问题：
思路：即提取出最右侧的1以后，与目标数进行与运算(&), 得到一个新的目标数，然后继续提取新目标数的最右侧的1，如此往复，即可把所有位置的1都提取出来。
问题三 一个数组中有一种数出现k次，其他数都出现了m次，m > 1, k < m, 找到出现了k次的数
要求：假设数组中所有数都是int类型，额外空间复杂度O(1)，时间复杂度O(N)
问题三解题思路
我们可以这样考虑，设置一个32位的数组，
int[] help = new int[32];
遍历原始数组中每个数num的每一个二进制位, 伪代码如下：
for (int num : arr) {
for (int i = 0; i < 32; i++) {
help[i] += num的二进制中i位置的值(只能是0或者1)
}
}
经过以上循环，help数组就把数组中的所有数的二进制位上的信息累加起来了。
help[0]表示数组中所有数二进制中0位置的值之和；
help[1]表示数组中所有数二进制中1位置的值之和；
…
help[31]表示数组中所有数二进制中31位置的值之和。
然后i从0位置开始拿出help[i]的值，假设help[i]=x，用x % m, 如果结果是k，说明出现k次的元素在这个位置上是1, 否则，这个出现了k次的数在i位置上是0, 遍历完help数组，出现k次元素的每一位信息都拿到了，然后还原出来即可。
问题三关键代码
public static int km(int[] arr, int k, int m) {
int[] helper = new int[32];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < 32; j++) {
helper[j] += ((arr[i] >> j) & 1);
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 32; i++) {
if (helper[i] % m == k) {
ans |= (1 << i);
}
}
return ans;
}