POJ 1664-放苹果(递归思想)

题目描述

把 M 个同样的苹果放在 N 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用 K 表示）注意：5，1，1 和 1，5，1 是同一种分法。

输入 M 和 N，且 1<=M，N<=10。

输出相应的 K。例如 M=7，N=3 时，K=8。

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分析

所有不同的摆放方法可以分为两类：至少有一个盘子空着和所有盘子都不空。我们可以分别计算这两类摆放方法的数目，然后把它们加起来。对于至少空着一个盘子的情况，则 N 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目与 N-1 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目相同。对于所有盘子都不空的情况，则 N 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目等于 N 个盘子摆放 M-N 个苹果的摆放方法数目。我们可以据此来用递归的方法求解这个问题。设 f(m, n) 为 m 个苹果，n 个盘子的放法数目，则先对 n 作讨论，如果 n>m，必定有 n-m 个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响；即 if(n>m) f(m,n) =f(m,m)。当 n <= m 时，不同的放法可以分成两类：即有至少一个盘子空着或者所有盘子都有苹果，前一种情况相当于 f(m , n) = f(m , n-1); 后一种情况可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即 f(m , n) = f(m-n , n)。总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 。整个递归过程描述如下：

int f(int m , int n){ 
if(n == 1 || m == 0) return 1; 
if(n > m) return f (m, m); 
return f (m , n-1)+f (m-n , n); 
}
当 n=１时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；当没有苹果可放时，定义为１种放法；递归的两条路，第一条 n 会逐渐减少，终会到达出口 n==1; 第二条 m 会逐渐减少，因为 n>m 时，我们会 return f(m , m) 所以终会到达出口 m==0．

代码实现的话就很容易了，主要是思路有点绕。

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代码

#include <stdio.h> 
int count(int x, int y)
{ 
  if(y == 1 || x == 0) 
    return 1; 
  if(x < y) 
    return count(x, x); 
  return count(x, y - 1) + count(x - y, y); 
} 

int main()
{ 
  int t, m, n; 
  scanf("%d", &t); 
  for(int i = 0; i < t; i++)
  { 
    scanf("%d%d", &m, &n); 
    printf("%d\n", count(m, n)); 
  } 
}