1. 前言

前几天的论文阅读分享中我汇报的是这篇论文。感觉挺棒的，这里简单记录一下。

2. MIM

这里我将本文的Market Influence Maximization，简称为MIM问题。本文作者针对美国航空市场的收益问题提出了新的解决方案。提出了一个 Market Share Prediction Model以及后面的Market Influence Maximization两个部分的内容。本文模型和之前的模型的区别在于下面几个点：
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当然，作者对比的部分只是 Market Share Prediction Model部分，以及其他论文中作者是怎么做的，而弱化了对MIM问题的说明。甚至在之前乃至之后的文章篇幅中均没有提到标题中的MIM问题的分析。而只是简单粗暴的定义了一个DNN模型，将输出的表示直接使用罗杰斯特函数来计算其比例：
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这里的 $m_{r, k}$ 就表示市场份额，也就是作者提出的Market Share Prediction Model部分。 $f_{r,k}$ 可以看作是航班的一些属性构成的一个飞行频率矩阵。同时，这个矩阵中应该会糅杂网络结构信息，包括
因为本文的模型框架为：
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在Budget Limit部分应该就是本文的重点部分。因为标题为MIM问题，故而作者需要将前面提出的Market Share Prediction Model转向MIM问题。首先定义了一个成本受限的IM问题：

最大化部分也就是利润，这里定义为 $demand_r$ ，表示为航线 $r$ 的总乘客人数，而 $m_{r, k}$ 表示航空公司 $k$ 在航线 $r$ 的市场份额。从直观上来讲确实可以表示航空公司的利润。这个公式也就是他本文标题所提出的MIM问题。

然后，定义了Budget Limit部分的内容。 $cost_{r,k}$ 表示航空公司 $k$ 在航线 $r$ 的单位运营成本， $f_{r,k,freq}$ 表示航空公司 $k$ 在航线 $r$ 的飞行频率。单位运营成本乘以飞行频率，也就是最终的花费成本。

对于这个约束受限的极值问题，本文引入了拉格朗日求极值问题。将问题进行了转化。
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上面的L也就是在拉格朗日极值问题的目标函数，因为在神经网络中为非连续函数，所以这里启发式的改写为了：

为了求极值问题，我们需要对式子进行求导工作，不妨先将整个式子写在一起：

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然后对公式14进行求导：

也就是说，可以求出 $\lambda$ ：

然后将它回代到公式14中，可以得到：
为了进一步简化这个公式，作者在论文中定义：

上式公式8就可以简化为：
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这里的 $L_{Lagrange}$ 也就是最终的目标函数表示。

记 $o(\mathcal{A}_{k})$ 为 $o^{'}$ ， $\frac{c(\mathcal{A}_{k})^2}{2}$ 为 $c^{'}$ ，那么因为所求为最大化利润，也就是最大值，所知这里的 $L_{Lagrange}$ 的一阶导数应该是小于0的，也就是说：
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而 $c$ 所求为最大限制的接近成本，故而这里的 $c^{'}$ 为大于0的数。所以有：

因为求为一阶导数值为0的最大值，故而这里求近似的时候，其实 $\beta$ 也就是一个极小值。故而可以改写为：

我们这里再次回忆一下 $c(\mathcal{A}_{k})$ 的表示：
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我们所希望的是在约束下的最大值，所以我们希望花费无限接近 $budget_k$ 下的MIM。也就是说其实 $c(\mathcal{A}_{k})$ 的表示也就是一个无限接近0的量。所以可以将公式12改写为：

进一步的，作者在论文中定义了一个自适应的更新梯度的算法，叫做AGA：
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我们这里关注while-do部分，也就是说当 $c(\mathcal{A}_{k})$ 大于0的时候，也即是花费大于限制，此时需要用公式13来进行约束，也就是让 $c(\mathcal{A}_{k})$ 接近于0。而反之，说明花费小于限制，所以这里就不需要进行约束 $c(\mathcal{A}_{k})$ ，直接进行频率矩阵 $\mathcal{A}_{k}$ 的梯度上升即可。